Produits scalaires hermitiens

Soit $\rm E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel.

Définition : Soit $\varphi : \rm E\times E\to \mathbb C$.

$\varphi$ est une forme sesquilinéaire sur $\rm E$ si et seulement si pour tout $(x,y)\in \rm E^2$ :

• $y\mapsto \varphi(x,y)$ est linéaire
• $x\mapsto \varphi(x,y)$ vérifie : pour tous

$(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb C^2$, pour tous $(x_1,x_2)\in \rm E^2$, $\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2,y)=\overline{\lambda_1}\varphi(x_1,y)+ \overline{\lambda_2}\varphi(x_2,y)$.

Définition : Une forme sesquilinéaire $\varphi$ est hermitienne si pour tous $(x,y)\in \rm E^2$, $\varphi(x,y)=\overline{\varphi(y,x)}$.

Identités de polarisation :

Soit $\varphi$ une forme sesquilinéaire  hermitienne. Soit $(x,y)\in \rm E^2$.

• $\varphi(x+y,x+y)=\varphi(x,x)+\varphi(y,y)+2\mathrm{Re}(\varphi(x,y))$
• $\varphi(x+iy,x+iy)=\varphi(x,x)+\varphi(y,y)-2\mathrm{Im}(\varphi(x,y))$
• $\varphi(x,y)=\displaystyle\frac{1}{4}[\varphi(x+y,x+y)-\varphi(x-y,x-y)]-\displaystyle\frac{i}{4}[\varphi(x+iy,x+iy)-\varphi(x-{\rm i}y,x-{\rm i}y)]$

Définition :

Un produit scalaire hermitien $\varphi$ sur $\rm E$  est une forme sesquilinéaire  hermitienne  définie positive, c’est-à-dire une application de $\rm E\times E$ dans $\mathbb C$ telle que :

• $\varphi$ est une forme sesquilinéaire  hermitienne
• Pour tout $x\in \rm E$, $\varphi(x,x)\geq 0$  
• Pour tout $x\in \rm E$, $\varphi(x,x)= 0 \Rightarrow x=\vec{0}$  (vecteur nul).

Définitions :

Un $\mathbb C$-espace vectoriel $\rm E$ muni d’un produit scalaire est un espace préhilbertien complexe.

Si $\rm E$ est de dimension finie, $\rm E$ est appelé espace hermitien.

Notation usuelle du produit scalaire : $\varphi=(\cdot|\cdot)$ ou $<\cdot,\cdot>$.

Exemples : Produit scalaire canonique sur $\rm \mathbb C^n$ :

Pour $x=(x_1,\ldots,x_{\rm n})$ et $y=(y_1,\ldots,y_{\rm n})$, $(x|y)=\displaystyle\sum_{\rm k=1}^{\rm n} \overline{x_{\rm k}}y_{\rm k}$

Produit scalaire sur $\rm C([a,b],\mathbb C)$ : $(f|g)=\displaystyle\int_{\rm a}^{\rm b} \bar{f}(t)g(t)\mathrm dt$.

Dans ce qui suit, $\rm E$ désigne un espace préhilbertien complexe, muni du produit scalaire $(\cdot|\cdot)$.

Définition :

En posant : pour tout $x\in \rm E$, $\|x\|=\sqrt{(x|x)}$, on définit une norme sur $\rm E$ appelée norme hermitienne.

C’est une norme car elle vérifie :

• Pour tout $x\in \rm E$, $\|x\| \geq 0$  (avec égalité si et seulement si $x=0$)
• Pour tout $x\in \rm E$, pour tout $\lambda \in\mathbb R$, $\|\lambda x\|=|\lambda| \times \|x\|$
• Pour tous $x,y\in \rm E$, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$.

Remarque : $x\in \rm E$ est unitaire si $\|x\|=1$.

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tout $(x,y)\in \rm E^2$, $|(x|y)|\leq \|x\| \times \|y\|$

Il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Remarque : $|\cdot|$ désigne le module.

Théorème : Inégalité triangulaire

Pour tous $x,y\in \rm E$, $||x+y||\leq ||x||+||y||$ avec égalité si et seulement s’il existe $\lambda \in\mathbb R^+$ tel que $y=\lambda x$ ou $x=\lambda y$ ($x$ et $y$ sont dits positivement liés).

Propriétés : Identités de polarisation

Soit $(x,y)\in \rm E^2$.

• $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+2\mathrm{Re}((x|y))$
• $\|x+iy\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2 – 2 \mathrm{Im}((x|y))$
• $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)$