Fraction rationnelle en éléments de première espèce

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Par exemple $F(x) = \displaystyle{\frac{2x-1}{x^3-7x+1}}$. Si on veut chercher une primitive (ou aussi dériver plusieurs fois) une fraction rationnelle, on est amené à décomposer la fraction en somme de fractions plus simples. Cette technique s'appelle la décomposition en éléments simples (DES). Nous allons la décrire en plusieurs étapes.

1)

La première chose à faire est de faire un peu le ménage dans la fraction. Par exemple, avant de décomposer $\displaystyle{F(x) = \frac{x^4-x^2}{(x-1)^2}}$, il faut d'abord simplifier la fraction. Pour cela, on factorise (il faut penser parfois aux identités remarquables) : 

$\displaystyle{G(x) = \frac{x^2(x^2-1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2(x+1)}{x-1} }$.

Donc la fraction que l'on décompose est $\displaystyle{G(x) = \frac{x^3+x^2}{x-1}}$.

2)

A partir de maintenant on supposera que notre fraction $F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ est simplifiée au maximum. Si le numérateur $P$ a un degré $>$ au degré du dénominateur $Q$ alors il y a une partie entière. C'est-à-dire que $F$ se décompose en $F=E + G$ avec $E$ un polynôme et $G$ une fraction rationnelle qui a un dénominateur de degré $>$ que le degré du numérateur. Pour trouver $E$ et $F$, on effectue la division euclidienne du polynôme $P$ par le polynôme $Q$.

Voici un exemple simple où il n'y a pas besoin de division euclidienne :

$\displaystyle{F(x) = \frac{x}{x+1}}$.

L'astuce consiste à faire apparaître au numérateur le dénominateur en écrivant :

$\displaystyle{F(x) = \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}}$

(la partie entière est donc le polynôme constant $1$).

3) PÔLES SIMPLES.

Supposons à présent que notre fraction n'est pas de partie entière. On factorise le dénominateur. Par exemple soit :

$\displaystyle{F(x) = \frac{1}{x^2-x-2} = \frac{1}{(x+1)(x-2)}}$.

Les valeurs d'annulation du dénominateur soit $-1$ et $2$ s'appellent des pôles de la fraction $F$. Ici il s'agit de pôles SIMPLES car les facteurs $(x+1)$ et $(x-2)$ sont à la puissance $1$. 

La théorie nous dit alors que la DES de $F$ est du type $\displaystyle{F(x) = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-2}}$ avec des coefficients $a$ et $b$ à chercher. 

Une méthode serait de mettre tout sur le même dénominateur et d'identifier avec le numérateur de la fraction initiale qui est $1$. Cette méthode est possible si il n'y a pas trop de fractions à additionner (ici il n'y a que deux fractions). 

La méthode générale est la suivante : on définit la fraction :

$F_{-1}(x) = (x+1)F(x)$ soit $\displaystyle{F_{-1}(x) = \frac{1}{x-2}}$. 

(Remarque : on indice $F$ par le pôle. Ici le pôle est $-1$ donc on note $F_{-1}$. Si le pôle était $5$, on noterait $F_5$).

On a alors :

$a = F_{-1}(-1)$ ce qui donne ici $\displaystyle{a = \frac{1}{-1-2} = -\frac{1}{3}}$. 

De même, pour avoir $b$, on définit $\displaystyle{F_2(x) = (x-2)F(x) = \frac{1}{x+1}}$. Alors $\displaystyle{b= F_2(2) = \frac{1}{3}}$. On a donc finalement $\displaystyle{F(x) = \frac{1/3}{x+1} + \frac{-1/3}{x-2} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-2}\right)}$. 

4) PÔLES DOUBLES.

Soit par exemple la fraction $\displaystyle{F(x) = \frac{4x^3}{x^4-2x^2+1}}$ (elle n'a pas de partie entière). On factorise le dénominateur. On remarque (ou pas !) que le dénominateur est une identité remarquable. 

On a :

$x^4-2x^2+1 = (x^2-1)^2 = [(x-1)(x+1)]^2 = (x-1)^2(x+1)^2$.

La fraction s'écrit donc $F(x) = \frac{4x^2}{(x-1)^2(x+1)^2}$. Ici, $F$ a deux pôles $1$ et $-1$. Mais comme les facteurs $x-1$ et $x+1$ sont au carré, on dit qu'il s'agit de pôles DOUBLES. La théorie dit alors que la DES de $F$ est du type :

$\displaystyle{F(x) = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)^2} + \frac{c}{x-1} + \frac{d}{(x-1)^2}}$.

Pour déterminer $a$ et $b$, on définit à présent $F_{-1}(x) = (x+1)^2F(x) = \frac{4x^3}{(x-1)^2}$. On a alors la formule $b = F_{-1}(-1) = =\frac{-4}{(-1-1)^2} = -\frac{4}{4} = -1$. 

La théorie nous dit aussi que $a = F_{-1}'(-1)$ (la dérivée de $F_{-1}$ appliquée en $-1$. 

Or :

$\displaystyle{F'_{-1}(x) = \frac{12x^2(x-1)^2-4x^32(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{12x^2(x-1)-8x^3}{(x-1)^3}}$

(inutile de développer !). On remplace $x$ par $-1$ :

$a = F_{-1}'(-1) = \frac{16}{8}=2$ donc $a=2$. 

Pour déterminer $c$ et $d$, on définit à présent :

$F_{1}(x) = (x-1)^2F(x) = \frac{4x^3}{(x+1)^2}$.

On a alors la formule :

$\displaystyle{d = F_{1}(1) = =\frac{4}{(1+1)^2} = \frac{4}{4} = 1}$. 

La théorie nous dit aussi que $c = F_{1}'(1)$. Or :

$\displaystyle{F'_{1}(x) = \frac{12x^2(x+1)^2-4x^32(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{12x^2(x+1)-8x^3}{(x+1)^3}}$.

On remplace $x$ par $1$ :

$\displaystyle{c = F_{1}'(1) = \frac{16}{8}=2}$ donc $c=2$. 

Au final, on a donc :

$\displaystyle{F(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}}$.