Algèbre logique

L'algèbre de Boole, ou algèbre logique, est un système mathématique qui permet de modéliser et de manipuler des expressions logiques numériques. Elle est largement utilisée dans l'automatisation des systèmes industriels.

L'algèbre logique repose sur trois notions fondamentales :

  • Les variables booléennes, qui ne peuvent prendre que deux valeurs : 0 (faux) et 1 (vrai).
  • Les opérateurs logiques, qui permettent de combiner ces variables.
  • Les lois et théorèmes, qui facilitent la simplification des expressions logiques.

Bases de la numération

Avant de manipuler les expressions logiques, il est important de comprendre les bases de numération utilisées en informatique :

  • Base décimale (10) : notre système usuel avec des chiffres, de 0 à 9.
  • Base binaire (2) : système utilisé en informatique, composé uniquement des chiffres 0 et 1.
  • Base hexadécimale (16) : utilisée pour simplifier l'écriture des nombres binaires.

Des techniques de conversion entre bases permettent de passer d'un système de numération à un autre, par exemple :

  • Décimal → binaire : division successive par 2.
  • Binaire → décimal : somme pondérée des puissances de 2.
  • Binaire → hexadécimal : regroupement des bits en groupes de 4.

Sur un nombre binaire de 8 bits, on obtient un octet où les 4 premiers bits (MSB) représentent la partie la plus représentative du nombre binaire et les 4 derniers (LSB) les bits les plus faibles.

Variables et opérateurs booléens

Une variable booléenne est une variable qui ne peut prendre que deux états : 0 ou 1.

Les principaux opérateurs booléens sont :

  • NON (barre ou /A) : l'inverse une valeur (si A = 1 alors /A = 0 et inversement).
  • ET (· ou A·B) : donne 1 uniquement si toutes les entrées sont à 1.
  • OU inclusif (+ ou A + B) : donne 1 si au moins une entrée est à 1.
  • OU exclusif (XOR ou ⊕) : donne 1 si une seule des entrées est à 1.
A B /A A·B A + B A ⊕ B
0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 1 1 0

Représentation des opérateurs booléens

Les opérations logiques peuvent être représentées de plusieurs manières :

  • Réseaux logiques à contacts : représentation électromécanique.
  • Diagrammes logiques : schémas utilisant des portes logiques.
  • Tableaux de Karnaugh : outil graphique pour simplifier les fonctions booléennes.

Une fonction booléenne est une expression mathématique composée de variables booléennes et d'opérateurs logiques. Elle peut être représentée sous forme de table de vérité ou sous une forme canonique.

Les expressions booléennes peuvent être simplifiées en utilisant :

  • Les lois de l'algèbre de Boole (idempotence, absorption, complémentation, etc.).
  • Les théorèmes de De Morgan :

/(A·B) = /A + /B
/(A+B) = /A · /B

Le tableau de Karnaugh permet d'identifier et de regrouper les termes redondants pour minimiser l'expression logique.