Probabilités

Soit $A$ et $B$ deux événements ($A$ de probabilité non nulle). La probabilité (conditionnelle) de l'événement $B$ sachant que l’événement $A$ est réalisé est : 

$\mathrm{P}_{A} (B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$.

Exemple : 

On peut représenter la situation d’une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Dans cet exemple, on a : 

$\mathrm{P}_A (B) = 0,6$ ; $\mathrm{P}_A (\bar{B}) = 0,4$ ;

$\mathrm{P}_{\bar{A}} (B) = 0,7$ ; $\mathrm{P}_{\bar{A}} (\bar{B}) = 0,3$.

On a aussi, par exemple :

$\mathrm{P}(A \cap B) = {\mathrm{P}}_A (B) \times \mathrm{P}(A) $

$=0,6 \times 0,2 = 0,12$

et 

$\mathrm{P}(\bar{A} \cap B) = {\mathrm{P}}_{\bar{A}} (B) \times \mathrm{P}(\bar{A}) $

$= 0,7 \times 0,8 = 0,56$.

Soient $\rm A$ et $\rm B$ deux événements tels que $\rm A$, $\rm \bar{A}$, $\rm B$ et $\rm \bar{B}$ sont de probabilités non nulles. $\rm A \cap B$ et $\rm \bar{A} \cap B$ forment une partition de l’événement $\rm B$ et on a : 

\[\begin{array}{ll}\rm P(B) = P(A \cap B) + P( \bar{A} \cap B)\\
\rm P(B) = {P}_A (B) \times P(A) + P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})\end{array}\]

Exemple :

On a vu que :

\[\rm P(A \cap B) = {P}_A (B) \times P(A)= 0,6 \times 0,2 = 0,12\]

et

\[\rm P(\bar{A} \cap B) = {P}_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A}) = 0,7 \times 0,8 = 0,56\]

D’après la formule des probabilités totales :

\[\rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = 0,12 + 0,56 = 0,68\]

Intersection de deux événements
L'intersection de deux événements $A$ et $B$ est notée $A \cap B$ ("$A$ inter $B$") : $A \cap B$ correspond à l'événement "$A$ et $B$".

Evénements incompatibles
Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont incompatibles.

Evénements indépendants
Si $A$ et $B$ sont indépendants, on a : 
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Réunion de deux événements
La réunion de deux événements $A$ et $B$ est notée $A \cup B$ ("$A$ union $B$") : $A \cup B$ correspond à l'événement "$A$ ou $B$".

Propriétés
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Si $A$ et $B$ sont incompatibles, on a : 
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Loi de Bernoulli

Soit $E$ une épreuve comportant 2 issues (succès ou échec).
On note $p$ la probabilité du succès et $X$ la variable aléatoire qui est égale à 1 en cas de succès et 0 sinon.

On dit que $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ et on a :

$E(X) = p$
$V(X) = pq$ où $q = 1 - p$
$\sigma(X) = \sqrt{p q}$

Loi binomiale

Soit $E$ une épreuve de Bernoulli et $p$ la probabilité du succès.
On répète $n$ fois, de manière indépendante, l'épreuve $E$ et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès (compris entre 0 et $n$).
On dit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (notée $B(n ; p)$). 

Pour tout $k \in [0 ; n]$, on a :

$P(X = k) = (_{k}^{n})$ ${p}^{k}$ ${q}^{n - k}$
$E(X) = np$
$V(X) = npq$ où $q = 1 - p$
$\sigma(X) = \sqrt{n p q}$