Nombres complexes

Définition

Un nombre complexe $z$ est écrit sous forme algébrique si $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$.
$a$ est appelé la partie réelle de $z$ et est noté $\mathrm{Re}(z)$ ; $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ et est noté $\mathrm{Im}(z)$.

$z$ est un réel $\Leftrightarrow \mathrm{Im}(z) = 0$
$z$ est un imaginaire pur $\Leftrightarrow \mathrm{Re}(z) = 0$
$\bar{z} = a - bi$ est le nombre complexe conjugué de $z = a + bi$.

Addition et soustraction

Pour additionner (soustraire) deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'additionner (soustraire) leur partie réelle et leur partie imaginaire.

Exemple :

${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
${z}_1 + {z}_2 = (3 + 5i) + (-2 + 3i)$ $= (3 + (-2)) + (5 + 3)i = 1 + 8i$.
${z}_1 - {z}_2 = (3 + 5i) - (-2 + 3i)$ $= (3 + 2) + (5 - 3)i = 5 + 2i$.

Multiplication

Pour multiplier deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il suffit d'utiliser la distributivité classique, et de se rappeler que $i^2 = -1$.

Exemple :

${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
${z}_1 \times {z}_2 = (3 + 5i)(-2 + 3i)$ $= -6 + 9i -10i -15 = -21 - i$

Division

Pour diviser deux nombres complexes écrits en forme algébrique, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple : 

${z}_1 = 3 + 5i$ et ${z}_2 = -2 + 3i$
$\frac{{z}_1}{{z}_2} = \frac{3 + 5i}{-2 + 3i}$
$= \frac{(3+5i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)}$
$= \frac{-6-9i-10i+15}{13}$ $= \frac{9 - 19i}{13}$
$= \frac{9}{13} - \frac{19}{13}i$

Définition

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme trigonométrique lorsque :

$z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$
$r \in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

$r$ est le module de $z$, noté $\mid z \mid$. Il s'agit toujours d'un réel strictement positif car, géométriquement, c'est la distance entre l'origine $\mathrm{O}$ et le point $\mathrm{M}$ d'affixe $z$.

$\theta$ est un argument de $z$, noté $\mathrm{arg}(z)$. Il est défini à $2 \pi$ près (modulo $2\pi$) et, géométriquement, c'est la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})$ (en radians) dans le repère orthonormal direct $(\mathrm{O} ; \vec{u} ; \vec{v})$ .

Propriétés

Pour tous les nombres complexes ${z}_1$ et ${z}_2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :

$\mid {z}_1 \times {z}_2∣ = \mid {z}_1 \mid \times \mid {z}_2 \mid$
$\mathrm{arg}({z}_1 \times {z}_2) = \mathrm{arg}({z}_1) + \mathrm{arg}({z}_2) (2 \pi)$
$\mid {{z}_1}^{n} \mid = {\mid {z}_1 \mid}^{n}$
$\mathrm{arg}({{z}_1}^{n}) = n \times \mathrm{arg}({z}_1) (2 \pi)$

Forme exponentielle

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme exponentielle lorsque :

$z = re^{i\theta}$, où $r \in \:{\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \:]-\pi ; \pi]$.

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Pour $z = a + bi \neq 0$, 

$r = \sqrt{{a}^2 + {b}^2}$

$\cos(\theta) = \frac{a}{r}$ et $\sin(\theta) = \frac{b}{r}$

On utilise ensuite le cercle trigonométrique.

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Pour $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$,

$a = r \cos(\theta)$ et $b = r \sin(\theta)$.

On considère l'équation du second degré dans $\mathbb{C}$ : $a{z}^2 + bz + c = 0$ avec $a$, $b$ et $c$ trois réels, et $a \neq 0$.
On pose $\Delta = {b}^2 - 4ac$ (discriminant de l'équation). 

Si $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes $\displaystyle {x}_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle {x}_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Si $\Delta = 0$, l'équation a une solution réelle dite double $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$.
Si $\Delta < 0$, l'équation a deux solutions complexes conjuguées distinctes $\displaystyle {z}_1 = \frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle {z}_2 = \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Exemples : 

Pour l'équation $-2{z}^2 + 3z - 7 = 0$,

$\Delta = 9 - 56 = - 47 < 0$ et $-\Delta = 47$.
L'équation a deux solutions complexes conjuguées distinctes :

$\displaystyle {z}_1 = \frac{-3-i\sqrt{47}}{-4} = \frac{3+i\sqrt{47}}{4}$

et 

$\displaystyle {z}_2$ = $\frac{-3+i\sqrt{47}}{-4} = \frac{3-i\sqrt{47}}{4}$ .