Fonction logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive sur $]0~ ;~ + \infty[$ de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en 1.

Elle est définie, continue, dérivable sur l’intervalle $]0~ ;~ + \infty[$. 
Pour tout $x \in\:]0 ; + \infty[$, $\ln’(x) = \frac{1}{x} > 0$, donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~ ; ~+ \infty[$.

$\ln(1) = 0$ donc $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0~ ;~ 1[$ et $\ln x > 0$ pour $x \in \:]1~ ;~ + \infty[$, car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0~ ;~ + \infty[$.

Propriétés algébriques

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :

$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ ;

$\ln(\frac{1}{b}) = -\ln(b)$

$\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ ;

$\ln({a}^{n}) = n \ln(a)$ ($n$ entier naturel)

$\frac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$.

Dérivée de $\ln(u)$

Pour une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$, $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(\ln(u))’ = \frac{u'}{u}$ sur cet intervalle.

Limites 

Limite en $+ \infty$ :

$\lim_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty$

Limite en $0^+$ :

$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote verticale d'équation $x = 0$.

Croissances comparées de fonctions

$\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0^+$
$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$

Ainsi, la fonction $x \mapsto x$ l'emporte sur la fonction logarithme népérien.

La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante, donc pour tous les nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ :

$\ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b$ 

$\ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow a < b$ 

$\ln(a) > \ln(b) \Leftrightarrow a > b$

La fonction logarithme décimal, notée $\log$, est la fonction définie sur ${\mathbb{R}}_+^*$ par :

$\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$.

La fonction $\log$ possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction logarithme népérien :

$\log(1) = 0$ ; $\log(10) = 1$
$\log(10^{n}) = n \log (10) = n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

La fonction $\log$ est fréquemment utilisée en physique, en chimie et en acoustique.