Fonction exponentielle

Définition

La fonction exponentielle, notée $x \mapsto e^{x}$, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, notée $\ln$, qui est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$. 

Pour tout $x$ réel, il existe un unique $y > 0$ tel que $x = \ln(y)$, que l'on note $y = e^x$.

Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Propriétés algébriques 

$e^0 = 1$

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ : 

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ ; 

$e^{-a} = \frac{1}{e^{a}}$ ; 

$e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ ; 

${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ ($n$ entier naturel).

Dérivée de $e^u$

Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, $e^{u}$ est dérivable sur $I$ et $(e^{u})' = u’ \times e^{u}$ sur cet intervalle.

Limites

Limite en $+\infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$

Limite en $- \infty$ :

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0^+$

On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $- \infty$ qui a pour équation $y = 0$.

Croissances comparées de fonctions

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty$
$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} x e^{x} = 0$

Ainsi, à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur la fonction $x \mapsto x$.

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :

$e^{a} = e^{b} \Leftrightarrow a = b$
$e^{a} < e^{b} \Leftrightarrow a < b$

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, donc pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$