Equations différentielles (1er ordre et 2ième ordre)

Equations différentielles du premier ordre sans second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme : $y’ + ay = 0$ où $a$ est un nombre réel non nul.

Les solutions sont définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = \lambda e^{-ax}$ où $\lambda$ est un nombre réel.

A l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $\lambda$ et la solution sera unique.

Equations différentielles du premier ordre avec second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme : $y’ + ay = b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels, $a$ non nul.

Les solutions sont définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = \lambda e^{-ax} + \frac{b}{a}$ où $\lambda$ est un nombre réel.

A l’aide d’une condition initiale, on peut déterminer $\lambda$ et la solution sera unique.

Equations différentielles du second ordre du type $y’’ + {\omega}^2y = 0$

$\omega \neq 0$ est un nombre réel.

Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $y(x) = Acos(\omega x) + Bsin(\omega x)$ où $A$ et $B$ sont des nombres réels (ou $y(x) = Asin(\omega x + \varphi$) où $A$ et $\varphi$ sont des nombres réels).

A l’aide de deux conditions initiales, on peut déterminer $A$ et $B$ (ou $A$ et $\varphi$), et la solution sera unique.

Equation différentielle linéaire du second ordre sans second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ deux fois dérivable qui s’écrit sous la forme : $ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = 0$ (E) où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, $a$ non nul.

On appelle $ar^2 + br + c = 0$ équation caractéristique de (E).
- Si $\Delta > 0$, l’équation a deux solutions réelles $r_1$ et $r_2$ et les solutions générales de (E) sont de la forme $y_0(t) = \mathrm{A} e^{r_1 t} + \mathrm{B} e^{r_2 t}$ où A et B sont des réels.
- Si $\Delta = 0$, l’équation a une seule solution $r = -\frac{b}{2a}$ et les solutions générales de (E) sont de la forme $y_0(t) = (\mathrm{A} + \mathrm{B} t)e^{rt}$ où A et B sont des réels.
- Si $\Delta < 0$, l’équation a deux solutions complexes $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$ et les solutions générales de (E) sont de la forme $y_0(t) = (\mathrm{A} \cos(\beta t) + \mathrm{B} \sin(\beta t))e^{\alpha t}$ où A et B sont des réels.