Calcul intégral

Aire sous une courbe
Soit $f$ une fonction positive et continue sur l’intervalle [$a$ ; $b$].
L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x$ = $a$ et $x$ = $b$ est $\int_{a}^{b} f(x) dx$ (en unités d’aire).

Exemple :
Pour la fonction f définie par $f(x) = 2x^2$ qui est continue et positive sur l’intervalle [0 ; 2], l'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ est :

$A = \int_0^2 f(x) dx = \frac{16}{3}$ u.a.

Aire entre deux courbes
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a~;~b]$ telles que $f< g$.

L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, la
courbe représentative de $g$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ est :

$A’ = \int_a^b (g(x) - f(x)) dx$ (en unités d’aire).

Définition

On considère une fonction f continue sur l’intervalle [a ; b] (a < b) et on note F une de ses primitives. On a :
$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$.

Exemple : la fonction $f$ définie par $f(x) =2x^2$ est continue sur l’intervalle $[0~;~2]$ et une de ses primitives sur cet intervalle est la fonction $F$ définie par $F(x) = \frac{2x^3}{3}$.

$\int_0^2 f(x) dx = [\frac{2{x}^3}{3}]_0^2 = \frac{16}{3}$.

Propriétés 

Pour $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a~ ;~ b]$ ($a < b < c$) et un réel $k$ :

• $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$ ;
• $\int_a^b kf(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$ ;
• $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ ;
• $f(x) > 0$ sur $[a~;~b]$ $\Rightarrow$ $\int_a^b f(x) dx > 0$ ;
• $f(x) > g(x)$ sur $[a~;~b]$ $\Rightarrow$ $\int_a^b f(x) dx > \int_a^b g(x) dx$.

Soit $u$ et $v$ deux fonctions continues et dérivables sur $[a~;~b]$ ($a < b$).
On suppose que les fonctions dérivées de $u$ et $v$ sont continues sur $[a~;~b]$.
On a :
$\int_a^b u(t) v’(t) dt = [u(t)\times v(t)]_a^b -$ $\int_a^b v(t) u’(t) dt$.