Applications des bases de la dynamique

Un solide est dit en chute libre s’il est soumis uniquement à son poids (le fait qu’il n’existe pas de force de frottement impose que cette condition ne peut être réalisée que dans le vide).

1. Equation différentielle du mouvement

Système étudié : le solide
Référentiel utilisé : le repère galiléen
Bilan des forces extérieures : $P$ poids du solide 

On appliquant la deuxième loi de Newton :

$\sum \overrightarrow{ F}_{ext} = m \overrightarrow{a}$
$\quad \Longrightarrow \overrightarrow{ P} = m \overrightarrow{ a_g}$
$\quad \Longrightarrow mg = m a_g$
$\quad \Longrightarrow g = a_g$

2. Résolution de l’équation différentielle 

Conditions initiales : supposons que la position initiale (à l’instant $𝑡 = 0$) du solide soit $x_0 = 0$ et sa vitesse initiale soit : $v_{x0} = 0$

Expression de la vitesse

$\dfrac{dv_x}{dt} = g \Rightarrow v_x = gt + k$ 
À $t = 0,\: v_x = v_{x_0} \Rightarrow v_{x_0} = g \times 0 + k \Rightarrow v_{x_0} = k$

D’où :

$v_x = gt + v_{x_0}$

Remarque : si la vitesse initiale est nulle $(v_{x_0} = 0)$, alors l’expression de la vitesse devient $v_x = gt$.

Expression de position

$v_x = \dfrac{dOM}{dt} \Rightarrow \dfrac{dOM}{dt} = gt + v_{x_0}$
$\Rightarrow x = x = \dfrac{1}{2} g t^2 + v_{x_0} t + k$
$\quad$ À $t = 0, \:x = x_0 \Rightarrow x_0 = \dfrac{1}{2} g 0^2 + v_{x0} 0 + k$
D’où $x_0 = k$

D’où :

$x = \frac{1}{2} gt^2 + v_{x0} t + x_0$

1. Equation différentielle du mouvement

On a dans le référentiel galiléen $\overrightarrow{OG}$.
$\overrightarrow{OG}$ Vecteur position, avec :

$\overrightarrow{OG} = x \overrightarrow{i} + z \overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{V_g} = \frac{d \overrightarrow{OG}}{dt} = \dot{x} \overrightarrow{i} + \dot{z} \overrightarrow{k}, \: \overrightarrow{a_g} = \ddot{x} \overrightarrow{i} + \ddot{z} \overrightarrow{k}$

Appliquons la deuxième loi de Newton :

$\overrightarrow{P} = m \overrightarrow{a}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{g} = m \overrightarrow{a}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{g} = \overrightarrow{a}$

Les coordonnées du vecteur accélération sont donc :

$\ddot{x} = 0$ et $\ddot{z} = -g$

2. Résolution différentielle du mouvement

Pour obtenir les coordonnées du vecteur vitesse, et l’équation horaire du mouvement on cherche une primitive pour chacune des composantes du système.

La vecteur vitesse

$\overrightarrow{v_t} \begin{pmatrix} v_0 \cos \alpha \\ -g t + v_0 \sin \alpha \end{pmatrix}$

L’équation horaire de mouvement

Pour obtenir les équations horaires du mouvement, il faut calculer une primitive de chacune des composantes de la vitesse :

$\left\{\begin{array}
x(t) = (v_0 \cos \alpha) t + C_3 \\
z(t) = \frac{-1}{2}g t^2 + (v_0 \sin \alpha ) t + C_4
\end{array}
\right.$

Pour déterminer les constantes, on utilise les conditions initiales :

$\left\{ \begin{array} x(t) = (v_0 \cos \alpha) t \\ z(t) = \frac{-1}{2}g t^2 + (v_0 \sin \alpha ) t \end{array} \right.$

La portée

La portée est la distance maximale parcourue par le projectile et est caractérisée par le point d’impact $B$ où $Z_B = 0$

$Z_B = 0 \Leftrightarrow - \frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos ^2 \alpha} x_{B}^{2} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} x_B = 0$ $\Leftrightarrow \frac{x_B}{\cos \alpha}( \frac{-g}{2 v_{0}{2} \cos \alpha} + \sin \alpha) = 0$

Cette équation admet deux solutions :

$x_B = 0$ ou $x_B = \frac{2 v_{0}{2} \cos \alpha \sin \alpha}{g} \: x_B = \frac{ v_{0}{2} \sin (2 \alpha)}{g}$