Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé ($\mathrm{O}$ ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$ ; $\vec{k}$).

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé

Pour $\vec{u}$($x$ ; $y$ ; $z$) et $\vec{v}$($x’$ ; $y’$ ; $z’$), deux vecteurs de l'espace : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ + zz’$ qui est un nombre réel.

Propriétés du produit scalaire

Pour $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l'espace et un nombre réel $k$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ;

$(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k \vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.

Norme d’un vecteur

Pour $\vec{u}$($x$ ; $y$ ; $z$) un vecteur de l'espace,

$\| \overrightarrow u \| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Distance entre deux points

Pour $\mathrm{A}({x}_{\mathrm{A}} ; {y}_{\mathrm{A}} ; {z}_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm{B}({x}_{\mathrm{B}} ; {y}_{\mathrm{B}} ; {z}_{\mathrm{B}})$, deux points de l'espace, $\mathrm{AB} = \sqrt{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}$ $= \sqrt{{({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}})}^2 + {({y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}})}^2 + {({z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}})}^2}$.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.