Limites de fonctions et asymptotes

Fonction carrée :

$\displaystyle \lim_{x \to -∞} x^2$ = $+∞$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +∞} x^2$ = $+∞$

Fonction cube :

$\displaystyle \lim_{x \to -∞} x^3$ = $-∞$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +∞} x^3$ = $+∞$ 

Fonction inverse :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$ ; $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ ;
$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$  

Fonction logarithme népérien :

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ 

Fonction exponentielle :

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ ; $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$  

Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $\pm \infty$ est finie (un réel
$k$). L'asymptote horizontale a alors pour équation $y = k$ en $\pm \infty$.

Exemple :

Pour $f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 5}$, $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2$.
La droite d’équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+$ et en $- \infty$.

Asymptote verticale

Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $k$ (une valeur interdite) est
infinie $(\pm\infty)$. L'asymptote verticale a alors pour équation $x = k$.

Exemple :

Pour $g(x) = \dfrac{1}{x-3}$, $\displaystyle \lim_{x \to 3} g(x) = \pm \infty$. La droite d’équation $x = 3$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $g$.