Suites arithmétiques

Définition

Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant (ou en retranchant) le même réel $r$. On a alors $u_{n + 1} = u_n + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Ce réel $r$ est appelé la raison de la suite arithmétique.

Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule $u_{n + 1} - u_n$ et on obtient un réel $r$.

Pour ce qui suit, on considère une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Terme général

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, le terme général d'une suite arithmétique est donné par :

$$u_n = u_0 + nr$$

Monotonie

Les points $(n ; u_n)$ appartiennent à une droite représentation graphique d'une fonction affine de coefficient directeur $r$. La monotonie de la suite dépend du signe de la raison :

• Si $r > 0$, alors la suite est strictement croissante ;
• Si $r < 0$, alors la suite est strictement décroissante ;
• Si $r = 0$, alors la suite est constante.

Somme des $n$ premiers termes

Pour calculer la somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique, on utilise la formule suivante :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$S = u_0 + u_1 + ... + u_{n-1} = n \frac{u_0 + u_{n-1}}{2}$$