Produit scalaire du plan

Produit scalaire dans un repère orthonormé

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d'un repère orthonormé $(\mathrm O~ ; \vec{i}~ ; \vec{j})$.

Définition du produit scalaire

Pour $\vec{u}(x~ ; y)$ et $\vec{v}(x'~ ; y')$ deux vecteurs non nuls du plan :

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \, \| \vec{v} \| \cos(\vec{u}~ ; \vec{v})$$

Si l'un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé

Pour $\vec{u}(x~ ; y)$ et $\vec{v}(x'~ ; y')$ deux vecteurs du plan : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ qui est un nombre réel.

Pour $\vec{u}(2~;-1)$ et $\vec{v}(1~;0)$ deux vecteurs du plan, $\vec{u}\cdot \vec{v} = 2\times 1 + (-1)\times 0 = 2$.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.