Probabilités conditionnelles

Intersection de deux événements

L'intersection de deux événements $\rm A$ et $\rm B$ est notée $\rm A \cap B$ ("$\rm A$ inter $\rm B$"). L'événement $\rm A \cap B$ correspond à l'événement "$\rm A$ **et** $\rm B$".

Événements incompatibles

Lorsqu'aucune issue ne réalise $\rm A$ et $\rm B$, c'est-à-dire $\rm A \cap B = \emptyset$, on dit que $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles. Cela signifie que les deux événements ne peuvent pas se produire simultanément.

Événements indépendants

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont indépendants, la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités individuelles :

$$\rm P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Réunion de deux événements

La réunion de deux événements $\rm A$ et $\rm B$ est notée $\rm A \cup B$ ("$\rm A$ union $\rm B$"). L'événement $\rm A \cup B$ correspond à l'événement "$\rm A$ **ou** $\rm B$".

Propriétés des probabilités

Pour calculer la probabilité d'une réunion, on utilise la formule générale :

$$\rm P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Dans le cas particulier où $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles, la formule se simplifie :

$$\rm P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Probabilité conditionnelle

Soit A et B deux événements (A de probabilité non nulle). La probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé est :

$$\rm P_{A} (B) = \dfrac{\rm P(A \cap B)}{P(A)}$$

Représentation par arbre pondéré

On peut représenter la situation d'une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Dans cet exemple, on a :

$\rm P_A (B) = 0,6$   $\rm P_A (\bar{B}) = 0,4$   $\rm P_{\bar{A}} (B) = 0,7$   $\rm P_{\bar{A}} (\bar{B}) = 0,3$

Calcul des probabilités d'intersection

On a aussi, par exemple :

$\rm P(A \cap B) = \rm P_A (B) \times P(A) = 0,6 \times 0,2 = 0,12$

$\rm P(\bar{A} \cap B) = P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A}) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$

Formule des probabilités totales

Soient A et B deux événements tels que A, $\rm \bar{A}$, B et $\rm \bar{B}$ sont de probabilités non nulles. A ∩ B et $\rm \bar{A} \cap B$ forment une partition de l'événement B et on a :

$$\begin{array}{ll}\rm P(B) = P(A \cap B) + P( \bar{A} \cap B)\\ \rm P(B) = {P}_A (B) \times P(A) + P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})\end{array}$$

Exemple d'application

On a vu que :

$$\rm P(A\cap B) ={P}_A(B) \times P(A)=0,6\times 0,2 = 0,12$$

et

$$\rm P(\bar{A} \cap B) = {P}_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A}) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$$

D'après la formule des probabilités totales :

$$\rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = 0,12 + 0,56 = 0,68$$