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Fonctions polynômes de degré 3

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Fonctions cube

Fonction cube

Définition et domaine

La fonction cube ($x\mapsto x^3$) est définie et dérivable sur l'intervalle $]-\infty~; +\infty[$.

Dérivée et monotonie

Sur cet intervalle, sa dérivée est la fonction $x\mapsto 3x^2$ qui est strictement positive, sauf en $x = 0$. Elle est donc strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty~; +\infty[$.

Propriétés géométriques

C'est une fonction impaire : sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère.

EN RÉSUMÉ

Nombre dérivé et tangente à une courbe

Tangente à une courbe en un point

La droite représentant la meilleure approximation affine d'une fonction en un point est appelée tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point.

Nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$. Il est noté $f'(x_0)$.

Équation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation :

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$

EN RÉSUMÉ

Variations et extremum

Dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Fonction strictement croissante

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Fonction strictement décroissante

Si $f'(x) < 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.

Extremum d'une fonction

Soit $a\in I$ qui est distinct des extrémités de $I$.

Condition d'extremum local

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.

EN RÉSUMÉ

Tableau de dérivées

Tableau de dérivées

Ce tableau présente les formules de dérivation essentielles pour le calcul différentiel. Il regroupe les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les règles de dérivation fondamentales.

Utilisation du tableau

Ce tableau de référence permet de retrouver rapidement les dérivées des fonctions de base et d'appliquer les règles de dérivation pour des fonctions plus complexes. Il constitue un outil indispensable pour résoudre les exercices de calcul différentiel.

EN RÉSUMÉ

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