Fonction dérivée et étude des variations d’une fonction

Tangente à une courbe en un point

La droite représentant la meilleure approximation affine d'une fonction en un point est appelée tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point.

Nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$. Il est noté $f'(x_0)$.

Équation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation :

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$

Dérivée des fonctions usuelles

Opérations sur les dérivées

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ et $k$ un nombre réel.

Règles de dérivation

Les opérations suivantes permettent de calculer les dérivées de fonctions composées :

• Multiplication par une constante : $ku$ est dérivable sur I et $(ku)' = ku'$
• Addition de fonctions : $u + v$ est dérivable et $(u + v)' = u' + v'$

Dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Croissance et décroissance d'une fonction

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Si $f'(x) < 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.

Extremum d'une fonction

Soit $a\in I$ qui est distinct des extrémités de $I$.

Condition d'extremum local

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.

Définition et variation

La fonction inverse ($x\mapsto \frac{1}{x}$) est définie sur les intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$.

Dérivabilité et dérivée

Elle est dérivable sur les intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto -\frac{1}{x^2}$, qui est négative sur ces deux intervalles.

Sens de variation

Elle est donc décroissante sur l'intervalle $]-\infty;0[$ et sur l'intervalle $]0;+\infty[$.

Représentation graphique

Sa représentation graphique (en bleu) est une hyperbole.

Propriété de symétrie

C'est une fonction impaire : sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère.