Probabilités

Probabilités

Évènements fondamentaux

$\emptyset$ est l'évènement impossible : $\rm{P}(\emptyset) = 0$. $\Omega$ est l'évènement certain : $\rm{P}(\Omega) = 1$.

Propriétés des probabilités

Pour $A$ une partie de $\Omega$, nous avons $0 \leq \rm{P}(A) \leq 1$ et $\rm{P}(A) + \rm{P}(\bar{A}) = 1$ où $\bar{A}$ est l'évènement contraire.

Formule de l'union

Pour $\rm A$ et $\rm B$ deux parties de $\Omega$, la probabilité de leur union est donnée par :

$$\rm{P}(A\cup B) = \rm{P}(A) + \rm{P}(B) - \rm{P}(A\cap B)$$

Évènements incompatibles

Si les évènements $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles, c'est-à-dire que $\rm A\cap B = \emptyset$, alors la formule se simplifie :

$$\rm{P}(A\cup B) = \rm{P}(A) + \rm{P}(B)$$

Tableau croisé d'effectifs

Un tableau croisé d'effectifs est un tableau à double entrée qui présente un des 2 caractères étudiés en ligne et le deuxième en colonne. L'intersection d'une ligne et d'une colonne contient l'effectif de ceux qui possèdent les deux valeurs de cette ligne et de cette colonne pour les 2 caractères.

Exemple pratique

Deux ateliers (Ouest et Est) d'une même entreprise fabriquent des pièces détachées dont certaines sont défectueuses. On note dans un tableau croisé d'effectifs la répartition des pièces entre les deux ateliers et selon si elles sont défectueuses ou non.

Calcul des probabilités conditionnelles

Avec ce tableau croisé d'effectif, par exemple, la fréquence ou probabilité conditionnelle de D sachant E est :

$\rm f_ E (D) = P_E (D)$ $\rm = \dfrac{card(E \cap D)}{card(E)} = \frac{24}{800}$ $= \dfrac{3}{100} = 0,03$.

La probabilité qu'une pièce prise au hasard (parmi les 1 800) soit défectueuse sachant qu'elle provient de l'entreprise Est est donc $0,03$.

De même, la probabilité qu'une pièce prise au hasard (parmi les $1~800$) soit non défectueuse sachant qu'elle provient de l'entreprise Ouest est :

$\rm \mathcal f_O (ND) = P_O (ND)$ $\rm = \dfrac{card(O \cap ND)}{card(O)}$ $\rm = \dfrac{980}{1~000} = 0,98$.