Automatismes – 1re

Equation produit

Si $A$ et $B$ sont des expressions du premier degré, $A \times B = 0$ est une équation-produit. Pour la résoudre, on utilise la propriété suivante : « un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul ». Donc $A \times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou $B = 0$.

Inéquation du premier degré à une inconnue

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on utilise les propriétés suivantes :

Propriétés de résolution

• Une inégalité ne change pas de sens quand on additionne ou on soustrait le même nombre aux deux membres.
• Une inégalité ne change pas de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre positif (non nul pour la division) les deux membres.
• Une inégalité change de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre négatif (non nul pour la division) les deux membres.

Développement

Développer une expression, c'est la transformer d'un produit en une somme :

Simple distributivité

Pour tous les nombres $k$, $a$ et $b$ :

$$k\times (a + b) = k \times a + k\times b$$

et

$$(a + b)\times k = a \times k + b\times k$$

Double distributivité

Pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ :

$$(a + b)\times (c + d) = a \times c + a\times d + b\times c + b\times d$$

Lorsque l'on a rassemblé et ordonné les termes selon les puissances décroissantes de $x$, on dit que l'on a ordonné et réduit l'expression.

Factorisation

Factoriser une expression, c'est transformer une somme en un produit de facteurs : on utilise la formule de simple distributivité dans l'autre sens.

Identité remarquable

On peut aussi utiliser une identité remarquable : pour $a$ et $b$ deux nombres :

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Fonction linéaire

La fonction linéaire de coefficient $a$ est la fonction qui à $x$ associe $a \times x = ax$. On note $f(x) = ax$ ou $f : x \mapsto ax$.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient $a$ est une droite. Elle passe par l'origine O du repère et par le point $(1~ ; a)$ où $a$ est le coefficient directeur de cette droite.

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui à $x$ associe $a\times x + b = ax+b$. On note $f(x) = ax + b$ ou $f : x \mapsto ax + b$.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite qui passe par le point $(0~ ; b)$. $a$ est le coefficient directeur de la droite et $b$ son ordonnée à l'origine.

Aire des figures usuelles

Les aires des figures usuelles sont des formules fondamentales en géométrie qui permettent de calculer la surface de différentes formes géométriques. Ces formules sont essentielles pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques et applications pratiques.

Formules principales

Voici les principales formules d'aire pour les figures géométriques les plus couramment utilisées :

Ces formules permettent de calculer l'aire de différentes figures géométriques telles que les rectangles, triangles, cercles, parallélogrammes, trapèzes et losanges. Chaque figure possède sa propre formule spécifique basée sur ses dimensions caractéristiques.

Volumes des figures usuelles

Voici les formules pour calculer les volumes des principales figures géométriques tridimensionnelles.

Formules principales

Les volumes des figures usuelles sont des formules fondamentales en géométrie dans l'espace. Ces formules permettent de calculer l'espace occupé par différents solides géométriques.

Chaque figure géométrique possède sa propre formule de volume qui dépend de ses dimensions caractéristiques. La maîtrise de ces formules est essentielle pour résoudre les problèmes de géométrie dans l'espace.