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La fonction cube ($x\mapsto x^3$) est définie et dérivable sur l'intervalle $]-\infty~; +\infty[$.
Sur cet intervalle, sa dérivée est la fonction $x\mapsto 3x^2$ qui est strictement positive, sauf en $x = 0$. Elle est donc strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty~; +\infty[$.
C'est une fonction impaire : sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère.
La droite représentant la meilleure approximation affine d'une fonction en un point est appelée tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point.
Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$. Il est noté $f'(x_0)$.
La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation :
$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Si $f'(x) > 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.
Soit $a\in I$ qui est distinct des extrémités de $I$.
$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.
Ce tableau présente les formules de dérivation essentielles pour le calcul différentiel. Il regroupe les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les règles de dérivation fondamentales.
Ce tableau de référence permet de retrouver rapidement les dérivées des fonctions de base et d'appliquer les règles de dérivation pour des fonctions plus complexes. Il constitue un outil indispensable pour résoudre les exercices de calcul différentiel.
Fonctions polynômes de degré 3
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