Fonctions logarithme népérien et exponentielle

Définition du logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est l'unique primitive sur $]0~ ; + \infty[$ de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en 1. Elle est notée $x \mapsto \ln(x)$.

Elle est définie, continue et dérivable sur l'intervalle $]0~ ; + \infty[$.

Propriétés de dérivation et croissance

Pour tout $x \in\:]0~ ; + \infty[$, $\ln'(x) = \frac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~ ; + \infty[$.

$\ln(1) = 0$ et $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0~ ; 1[$ et $\ln x > 0$ pour $x \in \:]1~ ; + \infty[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~ ; + \infty[$.

Propriétés algébriques

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :

• $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
• $\ln(\frac{1}{b}) = -\ln(b)$
• $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$
• $\ln({a}^{n}) = n \ln(a)$ ($n$ entier naturel)
• $\frac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$

Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction logarithme népérien présente les caractéristiques suivantes :

La fonction exponentielle

Définition

La fonction exponentielle, notée $x \mapsto e^x$, est définie sur $\mathbb{R}$.

Pour une valeur $x$ donnée, le nombre réel $y = e^x$ est l'unique solution de l'équation $\ln(y) = x$ d'inconnue $y$.

Propriétés de la fonction

Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels. La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Représentation graphique

Propriétés algébriques

$e^0 = 1$

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a : $e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

• $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$
• $e^{-a} = \frac{1}{e^{a}}$
• $e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$
• ${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ ($n$ entier naturel)