Nombres et entiers décimaux

I. Nombres entiers naturels. Écriture en chiffres

Pour compter des objets ou des personnes, on utilise des nombres entiers naturels. Un nombre est formé d'un ou plusieurs chiffres.

En numération décimale, on utilise les dix chiffres suivants :

$$0~1~2~3~4~5~6~7~8~9$$

• $131$ est un nombre qu'on peut utiliser pour compter des billes ; c'est un entier naturel écrit à l'aide des chiffres $1$ et $3$.
• $12,4$ et $\dfrac{2}{3}\approx 0, 66$ sont des nombres qu'on ne peut pas utiliser pour compter des billes ; ce ne sont pas des entiers naturels.
• $\dfrac{20}{4}$ est un entier naturel, car $\dfrac{20}{4}=5$ est un nombre qu'on peut utiliser pour compter des billes.
• Tous les chiffres peuvent être utilisés pour compter des billes. Donc tous les chiffres sont des entiers naturels.

Organisation des chiffres dans un nombre

La place d'un chiffre est importante dans l'écriture d'un nombre entier naturel. Le premier chiffre à droite représente les unités simples.

Dix unités constituent une dizaine dont le nombre en chiffre précède le chiffre des unités. Dix dizaines constituent une centaine dont le nombre en chiffres précède le chiffre des dizaines.

Les trois chiffres obtenus forment une classe. La première des classes est la classe des unités simples. Ensuite, on a la classe des mille, la classe des millions, la classe des milliards, etc.

Dans l'écriture d'un grand nombre, les classes sont séparées par un petit espace.

II. Écriture en lettres d'un nombre entier naturel

Les mots servant à écrire les nombres sont en général invariables.

les quatre amis, deux mille spectateurs.

Règles d'écriture

On relie par un trait d'union deux nombres inférieurs à $100$.

cinquante-deux ans, quatre-vingt-dix-huit élèves.

Cent et vingt ne prennent que s'ils sont multipliés et s'ils ne sont pas suivis par un autre nombre.

Mille deux cents francs, cent quatre-vingts personnes, deux cent quatre-vingt-trois mètres.

Million et milliard s'accordent au pluriel.

Trois millions cinq cent mille kilomètres, sept milliards d'habitants sur Terre.

III. Notion d'ensemble

On peut former un ensemble à partir d'un groupe d'individus ou de choses. Selon que ces groupes contiennent un nombre fini ou infini d'objets, on parle d'ensemble fini ou infini.

• L'ensemble des élèves de la 6e C ;
• L'ensemble de la population sénégalaise ;
• L'ensemble des membres d'une famille.

Définition d'un ensemble

On peut définir un ensemble en donnant la liste de ses éléments entre accolades.

L'ensemble des régions du Sénégal :

$\mathcal R = \{\text{Dakar, Thiès, Kaolack, Ziguinchor,}$ $\text{Kolda, Fatick, Tambacounda, Kédougou,}$ $\text{Matam, Louga, Diourbel, Sédhiou,}$ $\text{Kaffrine, Saint-Louis}\}.$

L'ensemble des chiffres :

$\mathcal C = \{0,~1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9\}.$

Appartenance à un ensemble

Pour tout élément d'un ensemble, on dit qu'il appartient à l'ensemble.

• Dakar $\in \mathcal R$ ; Bignona $\in \mathcal R$ ; $6 \in \mathcal C$ ; $10 \notin \mathcal C$.

L'ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb N$.

$\mathbb{N}=\{0~ ;~ 1~ ; 2~ ; 3~ ; 4~ ; 5~ ; 6~ ; 7~ ; 8~ ; 9~ ;$ $10~ ;~ 11~ ; 12~ ; 13~ ; \ldots ~;\ldots ~;\ldots\}$

$\mathbb N$ est un ensemble infini.

IV. Nombres décimaux

Définition et structure

Un nombre décimal est composé en général d'une partie entière et d'une partie décimale, séparées par une virgule. La partie entière se trouve avant la virgule et la partie décimale après la virgule.

$4,05$ est un nombre décimal : $4$ est la partie entière ; $05$ est la partie décimale.

Un nombre entier naturel est un nombre décimal arithmétique dont la partie décimale est nulle (est égale à $0$).

Décimales et ordre

Dans un nombre décimal, chacun des chiffres de la partie décimale est appelé une décimale. Le chiffre des dixièmes est la 1re décimale, etc.

Un décimal avec deux chiffres après la virgule est appelé décimal d'ordre $2$. On définit de même les décimaux d'ordre $3$, $4$, etc.

V. Ensemble $\mathbb{D}$

Définition de l'ensemble $\mathbb{D}$

L'ensemble des nombres décimaux arithmétiques est noté $\mathbb{D}$.

• $37,8$ est un nombre décimal : $37,8$ est un élément de l'ensemble $\mathbb{D}$ ; $37,8$ appartient à l'ensemble $\mathbb{D}$ ; on note $37,8 \in \mathbb{D}$ et on lit $37,8$ appartient à $\mathbb{D}$.
• $37,8$ n'appartient pas à $\mathbb{N}$ ; on note $37,8 \notin \mathbb{N}$.
• $\dfrac{4}{5}$ est un nombre décimal car $\dfrac{4}{5} = 0,8$ sa partie entière est $0$ et sa partie décimale $8$.
• $\dfrac{22}{7}$ n'est pas un nombre décimal car $\dfrac{22}{7}= 3,142...$ : la division ne donne pas un résultat juste. $\dfrac{22}{7} \notin \mathbb{D}$.

Relation entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{D}$

Tout nombre entier naturel est un nombre décimal. On dit que $\mathbb{N}$ est une partie de $\mathbb{D}$, on note $\mathbb{N} \subset \mathbb{D}$, et on lit $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{D}$.

Par contre $\mathbb{D}$ n'est pas une partie de $\mathbb{N}$. On écrit $\mathbb{D} \not\subset \mathbb{N}$ et on lit $\mathbb{D}$ n'est pas inclus dans $\mathbb{N}$.

Remarques importantes

• $13 = 13,0$ ; $7 = 7,0$. Donc tout entier naturel est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle.
• $23,8 = 23,80 = 23,800$ et $4,72 = 04,72 = 004,72$. Donc on ne change pas un nombre décimal si on ajoute ou si on enlève des « $0$ » avant le premier chiffre de sa partie entière ou des « $0$ » après le dernier chiffre de sa partie décimale.

Lecture et écriture des nombres décimaux

Pour lire et écrire un nombre décimal, on peut s'aider d'un tableau de numération afin de bien repérer la valeur de chaque chiffre.

Pour le nombre décimal $3908,724$ :

• $8$ est le chiffre des unités
• $0$ est le chiffre des dizaines
• $9$ est le chiffre des centaines
• $3$ est le chiffre des unités de milliers ou chiffre des milliers
• $7$ est le chiffre des dixièmes
• $2$ est le chiffre des centièmes
• $4$ est le chiffre des millièmes

Ainsi le nombre décimal $3~908,724$ est constitué de $3$ milliers, $9$ centaines, $0$ dizaine, $8$ unités, $7$ dixièmes, $2$ centièmes et $4$ millièmes.