Addition et soustraction des nombres décimaux arithmétiques

I. Vocabulaire

En ajoutant $2,6$ à $7,89$, on obtient $10,49$. Cette opération est une addition. $10,49$ est la somme de $2,6$ et $7,89$. $2,6$ et $7,89$ sont les termes.

Dans le cas général, si $a$ et $b$ sont deux décimaux, la somme du décimal $a$ et du décimal $b$ est notée $a+b$   $a$ et $b$ sont les termes de cette somme.

Dans une addition :

• les termes sont les nombres que l'on additionne  
• la somme est le résultat de l'addition.

$2,6 +7,89 = 10,49$   cette disposition est l'écriture en ligne de l'addition.

$$\begin{array}{r}~2,60 \\ +~7,89 \\ \hline ~10,49\end{array}$$

Cette disposition est l'écriture en colonnes de l'addition. Dans cette écriture, on aligne les virgules.

II. Propriétés

Commutativité

Pour tous nombres décimaux $a$ et $b$, on a :

$$a+b = b+a$$

On dit que l'addition est commutative.

Associativité

Etant donnés des nombres décimaux $a$, $b$ et $c$, on a :

$$(a+b)+c =a+(b+c)$$

On dit que l'addition est associative.

Rôle de zéro dans l'addition

Le nombre zéro, noté 0, est neutre pour l'addition. Autrement dit, si $a$ est un nombre décimal quelconque, alors :

$a+0=a$ et $0+a=a$.

On dit que 0 est l'élément neutre de l'addition.

Ordre de grandeur d'une somme

Pour estimer rapidement un ordre de grandeur d'un nombre :

• Tu peux garder le premier chiffre et remplacer le reste par $0$ si le 2^e chiffre est $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$ Exemples $5~347$ (est de l'ordre de) $\rightarrow 5~000$ $2~198$ (est de l'ordre de) $\rightarrow 2~000$
• Si le 2^e chiffre est $5$, $6$, $7$, $8$ ou $9$, alors tu peux arrondir au nombre rond supérieur $158 \rightarrow 200$ $4~711 \rightarrow 5~000$
• Pour plus de précision, tu peux garder plus de chiffres significatifs $5~437$ est de l'ordre de $5~400$ $7~463$ est de l'ordre de $7~500$

Pour obtenir un ordre de grandeur d'une somme, on additionne un ordre de chaque terme.

Soit à donner un ordre de grandeur de la somme

$$2~037,82+4~984,75$$

$2~037,82$ est proche de $2~000$ et $4~984,75$ est proche de $5~000$   donc un ordre de grandeur de $2~037,82+4~984,75$ est $2~000+5~000=7~000$.

I. Vocabulaire

Dans la soustraction :

• la différence est le résultat d'une soustraction ;
• les termes sont les nombres utilisés dans l'opération.

$746,037 - 209,185 = 536,852$ : écriture en ligne de la soustraction.

$$\begin{array}{r}746,037 \\ -209,185 \\ \hline 536,852\end{array}$$

Écriture en colonnes de la soustraction.

II. Propriété

Une différence ne change pas si l'on ajoute ou l'on retranche un même nombre aux termes de cette différence.

$340 - 60 = (340+40) - (60 +40) = 380 - 100 = 80$

$109 - 39 =(109-9)-(39-9) = 100 - 30 = 70$