Suites numériques

1. PRINCIPE DE RÉCURRENCE

Le raisonnement par récurrence est un procédé utilisé pour démontrer qu’une propriété $\mathscr P$ définie sur l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à un entier naturel $n_0$, est vraie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$.

Théorème (admis)

Soit $n_0$ un entier naturel et soit $\mathscr P (n)$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$. 

Si :
1. La propriété est vraie pour l’entier $n_0$.

2. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$, $\mathscr (P (n)$ est vraie) $\Rightarrow \mathscr (P (n+1)$ est vraie).

Alors : pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$ la propriété $P(n)$ est vraie.
      

N.B. 

• La première étape (vérification de la propriété pour l’entier $n_0$) est appelée initialisation.
• L’implication $\mathscr P (n) \Rightarrow \mathscr P (n+1)$ est appelée hérédité.
• Et pour finir, on conclut.

Variante du théorème précédent (admise)

Soit $n_0$ un entier naturel et $\mathscr P (n)$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$.

Si :

1. La propriété est vraie pour l’entier $n_0$.

2.   Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$, $(\mathscr P (n)$ est vraie du rang  $n_0$ au rang $n$) $\Rightarrow  (P (n+1)$ est vraie).

Alors : pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$, la propriété $\mathscr P (n)$ est vraie. 
 

N.B : Cette variante sert dans les cas où la validité de la propriété à un rang dépend non seulement du rang précédent, mais aussi de plusieurs rangs avant.

2. GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES

2.1. Définition

Une suite est une fonction de $\mathbb N$ (ou d’une partie de $\mathbb N$) dans $\mathbb R$.

Si $u$ est une suite et si $n$ est un entier naturel, son image $u(n)$ est notée $u_n$ (on lit « $u$ indice $n$ »).

Le réel $u_n$ est appelé terme général ou terme d’indice $n$ de la suite $u$.

La suite $u$ est aussi notée $(u_n)$ ou plus précisément :

•  $(u_n)_{n~\in~ \mathbb N}$ si la suite est définie sur $\mathbb N$.

•  $(u_n)_{n ~\geq ~p}$ si la suite est définie à partir du rang $p$, $(p~\in \mathbb N)$.
 

2.2. Principaux modes de génération d’une suite

On peut définir une suite de deux façons :

• de façon explicite en exprimant son terme général en fonction de $n$.
  On peut ainsi calculer n’importe quel terme de la suite : il suffit de connaître l’indice de ce terme.
  
  
• par la donnée de son premier terme et d’une relation de récurrence, c.-à-d. d’une relation liant des termes consécutifs de la suite, donc en général du type : $u_{n+1} =f(u_n)$ ou $u_n= f(u_{n-1})$.
  Pour calculer le terme d’indice $n$, il faut avoir calculé tous les termes précédents.

 2.3. Propriétés d’une suite

Suite majorée, minorée, bornée

Définition 1

On dit qu’une suite $(u_n)_{n ~\geq ~p}$ est minorée si et seulement si : 

Il existe un réel $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $p$ : $u_n \geq m$.     
 
Définition 2

On dit qu’une suite $(u_n)_{n ~\geq ~p}$  est majorée si et seulement si : 

Il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $p$ : $u_n \leq M$.
 

Définition 3

On dit qu’une suite $(u_n)_{n ~\geq ~p}$  est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
 

Monotonie d’une suite

Définition 4

Une suite $(u_n)_{n ~\geq ~p}$ est dite croissante (respectivement strictement croissante) si et seulement si : pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $p$ : $u_n \leq u_{n+1}$ (respectivement $u_n < u_{n+1}$).
 

Définition 5

Une suite $(u_n)_{n ~\geq ~p}$ est dite décroissante (respectivement strictement décroissante) si et seulement si : pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $p$ : $u_n \geq u_{n+1}$ (respectivement $u_n > u_{n+1}$).

Remarque :

• Une suite croissante est minorée par son premier terme.
• Une suite décroissante est majorée par son premier terme.

3. CONVERGENCE D’UNE SUITE

C’est l’étude du comportement d’une suite $(u_n)$  pour les grandes valeurs de $n$.

3.1 Définitions

  
 3.2 Propriétés

Propriété 2

Dans le cas où la suite $(u_n)_{n ~\geq ~p}$ est telle que $u_n=f(n)$, avec $f$ définie sur $[p~;+\infty[$, étudier $\displaystyle \lim_{n \mapsto +\infty} u_n$ revient à étudier $\displaystyle \lim_{x \mapsto +\infty} f(x)$ .
 

3.3 Théorèmes Généraux sur les limites

Théorème d’encadrement 

Théorème

Soit $n_0$ un entier naturel et $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites.

Si : pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  $n_0$ : $u_n \leq v_n \leq w_n$
et si : $\left(u_n\right) \text { et }\left(w_n\right)$ convergent vers le même réel $\ell$
ALORS $\left(v_n\right)$ converge vers $\ell$

Théorèmes de comparaison 

Théorème

Théorème de passage à la limite dans les inégalités

Théorème

4.1. Suites arithmétiques

Terme général d’une suite arithmétique

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.
Alors : pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 + nr$.  
 

Propriété 

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison $r$. 

Pour tous entiers $m$ et $p$, on a :  $u_m = u_p + (m-p)r$  
 

Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique $\left(u_n\right)$

1. Somme des termes, à partir du premier terme jusqu’à $u_n$ 
   • pour tout entier naturel $n$, on a : $\displaystyle u_0+u_1+\cdots+u_n=\sum_{k=0}^n u_k= (n+1) \times \dfrac{u_0+u_n}{2}$     
   • pour tout entier naturel $n$, on a : $\displaystyle u_1+\cdots+u_n=\sum_{k=1}^n u_k=n \times \frac{u_1+u_n}{2}$    
   
   
2. Cas particulier : la somme des entiers naturels de 1 à $n$ est $\displaystyle 1+2+3+\cdots n=\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$
   
   
3. Plus généralement, la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale au produit $\text{(nombre de termes} \times \dfrac{\text{ (premier terme) + (dernier terme)}}{2}$.

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison $r$, $u_n$ et $u_p$, deux de ses termes $(p < n)$.

Alors $\displaystyle u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=\sum_{k=p}^n u_k=(n-p+1) \times \frac{u_p+u_n}{2}$      

 Limite d’une suite arithmétique

• Une suite arithmétique de raison nulle est constante, donc converge vers son premier terme.
• Une suite arithmétique de raison non nulle est divergente.
  Plus précisément : soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison non nulle $r$.
  Si $r > 0$, alors $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=+\infty$
  Si $r <0$, alors $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=-\infty$

4.2. Suites géométriques

Terme général d’une suite géométrique

 Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison non nulle $q$ et de premier terme $u_0$. Alors :

pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = u_0 \times q^n$     
 

Propriété 

Plus généralement, si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison non nulle $q$,  

pour tous entiers  $n$ et $p$, on a : $u_n = u_pq^{n-p}$   
 

Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique $(u_n)$

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, alors :

$\left\{\begin{array}{l}
\text { Si } q \neq 1, u_0+u_1+\cdots+u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} \\
\text { Si } q=1, u_0+u_1+\cdots+u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k=(n+1) u_0
\end{array}\right.$
 

Limite d’une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0 \neq 0$.

• Si $\vert q\vert < 1$, c’est-à-dire si $-1 < q < 1$, alors $(u_n)$ converge vers $0$.
• Si $q > 1$ ou $q \leq -1$, alors $(u_n)$ diverge ;
  plus précisément :
  $\left\{\begin{array}
  \\ \text{Si } q>1, \displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\left(\text { signe de } u_0\right) {\infty} \\
  \text {Si } q \leq-1,\left(u_n\right) \text { n'a pas de limite }
  \end{array}\right.$
• Si $q = 1$, $(u_n)$ est constante, tous ses termes sont égaux à  $u_0$ donc $(u_n)$ converge vers $u_0$.

 5. Convergence des suites monotones

Théorème

Toute suite croissante et majorée par un réel $M$ converge et sa limite $\ell$ vérifie $\ell \leq M$.

Toute suite décroissante et minorée par un réel $m$ converge et sa limite $\ell$ vérifie $\ell \geq m$.   

Soit $(u_n)$ une suite croissante et non majorée. Alors $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.

Soit  $(u_n)$ une suite décroissante et non minorée. Alors $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.
 

6. Image d’une suite par une fonction 

Remarques

• Pour pouvoir appliquer ce théorème, il faut savoir d’avance que la suite $(u_n)$ converge.
• En général, on sait que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, mais on ne connaît pas la valeur de ce réel. Il suffit dans ce cas de savoir que $f$ est continue sur un intervalle dans lequel se trouve le réel $\ell$.

Théorème

Soit $\ell$ un nombre réel,  $(u_n)$ une suite telle que $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=\ell$ et   une fonction définie sur $D_f$.

Si, à partir d’un certain rang tous les termes de la suite appartiennent à $D_f$ et si $\displaystyle \lim _{x \mapsto \ell} u_n=+\infty$, alors $\displaystyle \lim _{n \mapsto+\infty} f\left(u_n\right)=+\infty$.