Limites et continuité

Continuité en un point

Propriétés :

$f$ est une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. Les affirmations suivantes sont équivalentes : 

1. $f$ est continue en $a$.
2. $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a+} f(x)=f(a)$.
3. $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a+} f(x)=f(a)$.

Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle ouvert si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Une fonction est continue sur un intervalle $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$, à droite en $a$ et à gauche en $b$.

De façon analogue, on définit la continuité de $f$ sur les intervalles $]a, b]$, $[a, b[$, $[a,+\infty[$ et $]-\infty, a]$.

Propriété :

• Toute fonction polynôme est continue en tout réel.
• Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son domaine de définition.
• Les fonctions $x \mapsto \cos ⁡x$ et $x \mapsto sin ⁡x$ sont continues en tout réel.

Théorèmes

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert $\rm I$ contenant $a$.

• Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors les fonctions $f+g$ et $f \times g$ sont continues en $a$.
• Si $f$ est continue en $a$, alors les fonctions $\alpha f$, $(\alpha \in \mathbb{R})$, $|f|$ et $f^n\left(n \in \mathbb{N}^*\right)$ sont continues en $a$.
• Si $f$ est continue en $a$ et si $f(a) \neq 0$, alors les fonctions $\dfrac{1}{f}$ et $\dfrac{1}{f^n}$ sont continues en $a$.
• Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ et si $g(a) \neq 0$, alors la fonction $\dfrac{f}{g}$ est continue en $a$.
• Si $f$ est positive sur $\rm l$ et $f$ est continue en $a$, alors la fonction $\sqrt f$ est continue en $a$.

Image d’un intervalle par une fonction continue

Théorème fondamental

Si $f$ est une fonction définie et continue sur un intervalle $\rm I$, alors l’image de cet intervalle par la fonction $\rm I$ est un intervalle que l’on note $f \rm (I)$.

Image d’un intervalle fermé et borné par une fonction continue

L’image d’un intervalle fermé borné $[a, b]$ par une fonction continue est un intervalle fermé borné $\rm [m, M]$.

Le réel $\rm m$ est le minimum de $f$ sur $[a, b]$.

Le réel $\rm M$ est le maximum de $f$ sur $[a, b]$.

Cela signifie que si $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes sur $[a,b]$.

Conséquence 

Théorème des valeurs intermédiaires :

Si $f$ est continue sur $[a~;b]$, alors pour tout nombre $\alpha$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un nombre $c$ de $[a~;b]$ tel que $f(c) = \alpha$. En d’autres termes, pour tout $\alpha$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x) = \alpha$ admet au moins une solution dans $[a~ ;b]$.

Cas particulier : Si $f$ est continue sur $[a~;b]$ et l’on a $f(a) f(b) < 0$, alors il existe au moins un nombre $c$ de $]a~;b[$ tel que $f(c) = 0$. En d’autres termes, l’équation $f(x)= 0$ admet au moins une solution dans $[a~ ; b]$.

Par ailleurs, $f$ prend toute valeur comprise entre ses bornes, c’est-à-dire entre son minimum et son maximum sur $[a,b]$ d’après le théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $\rm I$ de $\rm IR$, alors $f$ réalise une bijection de $\rm I$ sur l'intervalle $\mathrm{J}=f (\mathrm{I})$.

En d'autres termes, pour tout $m$ élément de $\mathrm{J}=f(\mathrm{I})$ ; l'équation $\color{Orange}{f(x)=m}$ admet une solution unique dans $\color{orange}{\rm I}$.

La bijection réciproque $f^{-1}$ est également continue sur $f(\rm I)$ et a même sens de variation que $f$.

Cas particulier

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a~ ; b]$ et si $f(a) \times f(b)<0$ alors l'équation $\color{orange}{f(x)=0}$ admet une solution unique dans $\color{orange}{]a~ ; b[}$.

Conséquence

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\rm I$. Si $f$ ne s'annule en aucun point de $\rm I$, alors $f$ garde un signe constant sur $\rm I$.

Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone

L’image d’un intervalle $\rm I$ par une fonction $f$ continue et strictement monotone sur $\rm I$ est un intervalle de même nature.

Représentation graphique de la réciproque

En repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la « première bissectrice », c'est-à-dire la droite d'équation $\mathrm{y}=\mathrm{x}$.

Exemple : La fonction racine n-ième

Pour tout entier naturel $n$ non nul, la restriction à $\mathbb{R}^{+}$de la fonction $x \mapsto x^n$ est continue strictement croissante sur $\mathbb{R}^{+}$ ; l'image de $0$ est $0$ et la limite en $+\infty$ est $+\infty$ : c'est donc une bijection continue de $\mathbb{R}^{+}$ sur lui-même et elle admet une bijection réciproque.

Cette fonction réciproque est appelée racine n-ième qui est notée $x \mapsto \sqrt[n]{x}$.

On a donc $\forall x \in \mathbb{R}^{+}$, $(\sqrt[n]{x}=y) \Leftrightarrow x=y^n$.

Autrement dit, si $x$ est un réel positif, $\sqrt[n]{x}$ est l'unique réel positif qui, élevé à la puissance $n$ vaut $x$.

Opérations sur les radicaux

Soient $a$ et $b$ deux réels positifs, $n$ et $p$ deux entiers strictement positifs, et $k$ un entier quelconque. On a les propriétés suivantes :

• $\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}$
• $(\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k}$ (avec $a \neq 0$ si $k<0)$
  $\sqrt[n]{\sqrt[p]{a}}=\sqrt[n p]{a}$
  $\sqrt[n p]{a^p}=\sqrt[n]{a}$

Résolution de l'équation $x^{n}=a$

• si $n$ est pair et $a \geq 0$ alors $x=\sqrt[n]{a}$ ou $x=-\sqrt[n]{a}$
• si $n$ est impair et $a \geq 0$ alors $x=\sqrt[n]{a}$
• si $n$ est pair et $a<0$ alors pas de solution.
• si $n$ est impair et $a \leq 0$ alors $x=-\sqrt[n]{-a}$

Définition de $a^r$, pour $\left.a \in\right] 0 ;+\infty\lceil$ et $r \in \mathbb{Q}$

Soit $a$ un réel strictement positif et $r \in \mathbb{Q}$, un rationnel dont un représentant est $\dfrac{p}{q}$, $(p, q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}$.

Alors $a^r=a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$

On démontre que cette définition est indépendante du représentant $\dfrac{p}{q}$ de $r$ choisi.

Toutes les règles de calcul sur les exposants entiers restent vraies pour les exposants rationnels.

On a les propriétés suivantes :

• $a^r a^{r^{\prime}}=a^{r+r^{\prime}}$
• $a^r b^r=(a b)^r$
• $\dfrac{a^r}{b^r}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^r$
• $\dfrac{1}{a^r}=a^{-r}$
• $\left(a^r\right)^{r^{\prime}}=a^{r r^{\prime}}$

Théorème :

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions. On suppose que pour toutes les valeurs de $x$ assez grandes, on a :

$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$

Si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} h(x)=\rm L$, alors $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\rm L$.

Remarques :

• Ce théorème reste valable au voisinage de $-\infty$ ou d'un réel $x_0$.
• Il est souvent appelé théorème des gendarmes ou théorème d'encadrement.

Théorème :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions.

• On suppose que pour toutes les valeurs de $x$ assez grandes, on a : $f(x) \geq g(x)$.
  $\Rightarrow$ Si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=+\infty$, alors $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$.
• On suppose que pour toutes les valeurs de $x$ assez grandes, on a : $f(x) \leq g(x)$.
  $\Rightarrow$ Si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=-\infty$, alors $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$.
• On suppose que pour toutes les valeurs de $x$ assez grandes, on a : $f(x) \leq g(x)$.
  $\Rightarrow$ Si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\rm L$ et $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=\rm L^{\prime}$ alors $\mathrm{L} \leq \mathrm{L}^{\prime}$.

Remarque : Ces résultats restent valables au voisinage de $-\infty$ ou d'un réel $x_0$.

En particulier, si une fonction $f$ est constamment positive sur un intervalle $\rm I$ et admet une limite réelle $\rm L$, on a $\mathrm{L} \geq 0$.

Théorème :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $a$, $\mathrm{L}$ et $\rm L'$ trois nombres réels (pouvant être éventuellement $+\infty$ ou $-\infty)$.

Si l'on a : $\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\mathrm L \\ \displaystyle \lim _{t \rightarrow \rm L} g(t)=\rm L^{\prime}\end{array}\right.$ alors : $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} g \circ f(x)=\rm L^{\prime}$.

En particulier, si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$ et si $g$ est continue en $b$, alors $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} g \circ f(x)=g \circ f(b)$

Composée de deux fonctions continues

Propriété 1

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\rm I$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $\rm J$ tel que $f\rm (I) \subset J$. Soit $x_0$ un élément de $\rm I$. Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f\left(x_0\right)$, alors $(g \circ f)$ est continue en $x_0$.

Propriété 2

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $\rm J$ tel que $f\rm (I) \subset J$. Si $f$ est continue sur $\rm I$ et $g$ continue sur $\rm J$, alors $(g \circ f)$ est continue sur $\rm I$.