1. Expression de la force de Lorentz

Une particule de charge $q$ en animé d’une vitesse $\overrightarrow{v}$ dans un champ magnétique uniforme $\overrightarrow{B}$ est soumise à une force magnétique dite force de Lorentz $\overrightarrow{F_m}$ d’expression : $$\overrightarrow{F_m}=q\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}$$

2. Caractéristiques de la force de Lorentz $\overrightarrow{F_m}$

  • Direction : perpendiculaire au plan $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B})$ ;
  • Sens : tel que le trièdre $(\overrightarrow{q.v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{F_m})$ soit direct ;
  • Norme : $F_m = |q|.v.B.sin(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B})$

NB :

  • si $\alpha=0$ ou $\alpha=\pi$ alors $sin\alpha=0$. $F_m=\overrightarrow{0}$
  • si $\alpha=90^\circ$ alors $sin \alpha= 1$. Donc $F_m= |q|vB$

Remarque : la direction et le sens de $\overrightarrow{F}$ sont donnés par la règle de la main droite.

3. Nature du mouvement de la particule chargée si $\overrightarrow V \perp \overrightarrow{B}$

Appliquons à la particule le T.C.I. ($P$ étant négligeable devant $\overrightarrow{F_m}$).

$\sum\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ or $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_m}=q.\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}$ et $\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{B}$ soit $q.\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}=m\overrightarrow{a} \Rightarrow \overrightarrow{a}=\dfrac{q}{m}\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}$

$\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{v}=\dfrac{q}{m}\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}\wedge\overrightarrow{v} \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{v}=0$ donc $a_t=\dfrac{dv}{dt}=0$

$v_z=cte=v_{0z}=0 \Rightarrow \frac{dz}{dt}=0 \Rightarrow z=cte=z_0=0$

$z=0 \forall ~t$, par conséquent la particule reste dans le plan $(i,j)$.

Dans la base de Frénet $(\overrightarrow{u_t},\overrightarrow{u_n})$, on a :  $\overrightarrow{a}=a_t\overrightarrow{u_t}+a_n\overrightarrow{u_n}$ alv $\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=0$

$v=cte=v_0$ : le mouvement est uniforme.

$a=a_n=\dfrac{v_0^2}{\rho}$ soit $\dfrac{mv_0^2}{\rho}=q.v.B \Rightarrow \rho=\dfrac{mv_0}{qB}=cte=R$ : la trajectoire est circulaire.

Conclusion

Le mouvement d’une particule chargée $q$ animée d’un vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ dans un
champ magnétique $\overrightarrow{B}$ uniforme perpendiculaire à la vitesse $\overrightarrow{v}$ est plane, circulaire et
uniforme. Son rayon est : $R=\dfrac{mv_0}{qB}$

Remarque

La loi de Lorentz donne la force s’exerçant sur une particule chargée placée dans un
champ électromagnétique (ensemble d’un champ électrostatique $\overrightarrow{E}$ et d’un champ
magnétique $\overrightarrow{B}$) :

$\overrightarrow{F}=q.(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B})$

$\Rightarrow \overrightarrow{F_e}+\overrightarrow{F_m}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{F_e}=-\overrightarrow{F_m} \Rightarrow |q|E=|q|vB$. Soit $\dfrac{E}{B}=v$