1. Généralités

  • Une suite est une fonction $u: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ définie sur l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels. L'image par la suite $u$ de l'entier $n$ est notée $u_n$ au lieu de $u(n)$.
  • La suite elle-même est notée $(u_n)$.
  • On peut définir une suite par une formule de la forme : $u_n = f(n)$ (définition explicite).

Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie par :  $u_n = n^2 - 5n + 3$.
Alors  : 
$u_0 = 0^2 - (5 \times 0) + 3 = 3$ ;
$u_1 = 1^2 - (5 \times 1) + 3 = -1$ ;
$u_2 = 2^2 - (5 \times 2) + 3 = -3$ ;
$u_{10} = 10^2 - (5 \times 10) + 3 = 53$ ; $u_{50} = 50^2 - (5 \times 50) + 3 = 2253$.

  • On peut aussi définir une suite par une condition de la forme :
    $u_{n+1} = f(u_n)$
    et la donnée du premier terme, par exemple $u_0$ (relation de récurrence).
  • On peut alors calculer de proche en proche les termes de la suite : 
    $u_1 = f(u_0)$ ;
    $u_2 = f(u_1)$ ;
    $u_3 = f(u_2)$ ; etc.

Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie par :  $u_{n+1} = 2 u_n + 3$ et $u_0 = 1$.
Alors :
$u_1 = u_{0+1} = 2 u_0 + 3 = 5$ ;
$u_2 = u_{1+1} = 2 u_1 + 3 = 13$ ;
$u_3 = u_{2+1} = 2 u_2 + 3 = 29$ ;
etc.
Par exemple, pour calculer $u_{50}$, il faudrait faire 50 calculs successifs.

  • Une suite $(u_n)$ est dite : 
    • croissante si : $\forall n, u_{n+1} \geq u_n$.
    • décroissante si : $\forall n, u_{n+1} \leq u_n$.
    • monotone si elle est croissante ou décroissante.
    • constante si : $\forall n, u_{n+1} = u_n$.

Étudier le sens de variation d'une suite $(u_n)$, c'est dire si elle est croissante ou décroissante ou constante.

Règle : Pour étudier le sens de variation d'une suite $(u_n)$, on compare deux termes consécutifs. Pour cela, on peut étudier le signe de leur différence, ou, s'il s'agit de nombres strictement positifs, comparer leur quotient à 1.

Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie par : $u_n = \dfrac{n+2}{2n+1}$. Alors $u_{n+1}=\dfrac{(n+1)+2}{2(n+1)+1}=\dfrac{n+3}{2n+3}$.

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+3}{2n+3}-\dfrac{n+2}{2n+1}=\dfrac{-3}{(2n+1)(2n+3)}$

Pour tout entier naturel $n$, on a donc : $u_{n+1}-u_n \leq 0$.

La suite étudiée est par conséquent décroissante.

2. Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre $r$ appelé raison : $u_{n+1} = u_n + r$.

Expression du terme général

  • Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors :

$u_n = u_0 + nr$.

  • Si le premier terme est $u_1$, alors :

$u_n = u_1 + (n - 1) r$

Plus généralement, on a entre deux termes quelconques $u_n$ et $u_p$ d'une suite arithmétique la relation suivante :

$u_n = u_p + (n - p) r$

Somme de termes consécutifs

  • Si la suite a pour premier terme $u_0$, alors la somme $S_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$ vaut : 

$S_n = \dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$

  • Si la suite a pour premier terme $u_1$, alors la somme $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n$ vaut : 

$S_n = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$

Exemple : Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n = 2n - 1$ et $u_1 = 1$. Alors $(u_n)$ est une suite arithmétique car : $u_{n+1} - u_n = 2 (n + 1) - 1 - (2n - 1) = 2n + 2 - 1 - 2n + 1 = 2$.

Donc : $u_{n+1} = u_n + 2$. La raison de la suite est 2.

La somme des $n$ premiers termes vaut : $u_1 + u_2 + \ldots + u_n = \dfrac{n(1+2n-1)}{2} = n^2$.

3. Suites géométriques

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre $q$ appelé raison : $u_{n+1} = u_n \times q$.

Expression du terme général

  • Si la suite géométrique $(u_n)$ a pour premier terme $u_0$ et pour raison $q$, alors : 

$u_n = u_0 \times q^n$

  • Si le premier terme est $u_1$, alors : 

$u_n = u_1 \times q^{n-1}$

Plus généralement, on a entre deux termes quelconques $u_n$ et $u_p$ d'une suite géométrique la relation suivante : 

$u_n = u_p \times q^{n-p}$

Somme de termes consécutifs

Pour toute suite géométrique de raison $q \neq 1$, on a : 

$u_0 + u_1 + \ldots + u_n = u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

$u_1 + u_2 + \ldots + u_n = u_1 \times \dfrac{1-q^n}{1-q}$

Exemple : $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{2^n} = S_n$ est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Donc : $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \ldots + \dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 2 - \dfrac{1}{2^n}.$

4. Limite d'une suite

La notion de limite en $+ \infty$, déjà rencontrée à propos des fonctions, s'étend au cas des suites. On a les résultats suivants : 

  • Théorème 1

a) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt n = + \infty$ ;
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2 = + \infty$ ;
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^3 = + \infty$

b) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt n} = 0$ ;
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$ ; 
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3} = 0$ ;

  • Théorème 2

Soit $q$ un nombre réel.
Si $q > 1$ : $\displaystyle \lim_{n \to \infty} q^n = + \infty$.
Si $-1 < q < 1$ : $\displaystyle \lim_{n \to \infty} q^n = 0$.

  • Théorème 3

Les résultats concernant les opérations sur les limites de fonctions s'étendent aux limites de suites.

Exemples :
1°) Soit la suite $(u_n)$ définie par :  $u_n = \dfrac{3n^3-5n^2+1}{2n^3+1}$
Alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^3}{2n^3}=\dfrac{3}{2}$

2°) Soit la suite $(v_n)$ définie par :  $v_n = 1 + \dfrac{1}{3} + (\dfrac{1}{3})^2 + \ldots + (\dfrac{1}{3})^{n+1}$. On a d'après le paragraphe 3 :
$v_n = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n}{1-\dfrac{1}{3}}$ (car $v_n$ est la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$).
Or, comme $-1 < \dfrac{1}{3} < 1$, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (\dfrac{1}{3})^n = 0$.
D'où :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v(n) = \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}$