1. Vocabulaire

  • Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut prévoir le résultat. Ex. : jeter une pièce de monnaie ou un dé ; tirer $p$ boules parmi $n$ boules dans un sac...
  • Chaque résultat d'une expérience aléatoire s'appelle éventualité.
  • L'ensemble de toutes les éventualités s'appelle univers des éventualités. On le note $\Omega$.
  • Toute partie de l'univers des éventualités $\Omega$ s'appelle événement, tout événement $\rm A$ contenant une seule éventualité est appelé événement élémentaire.
  • $\Omega$ est appelé événement certain (il se réalise certainement).
  • $\varnothing$ est appelé événement impossible (il ne se réalise jamais).
  • $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements incompatibles s'ils ne se réalisent pas en même temps (c'est-à-dire : $\rm A \cap B = \varnothing$).
  • $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements contraires si : $\rm A \cap B = \varnothing$ et $\rm A \cup B = \Omega$ et on écrit : $\rm A = \overline{B}$ ou $\rm B = \overline{A}$.

2. Probabilité sur un ensemble fini

Définition

$\Omega = \{\omega_1~ ; \omega_2~ ; \ldots~ ; \omega_n\}$ l'univers des éventualités d'une expérience aléatoire. On définit une probabilité sur $\Omega$ en associant à chaque éventualité $\omega_i$ le réel $p_i$ tels que : $p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$.
Le nombre $p_i$ est appelé la probabilité de l'événement $\{\omega_i\}$.

Propriétés

Soit $p$ une probabilité sur un univers des éventualités $\Omega$ on a : 

  • $p (\Omega) = 1$ et $p (\varnothing) = 0$
  • Pour tout événement $\rm A$ on a : $0 \leq p(\rm A) \leq 1$
  • $p\mathrm{(A \cup B)} = p(\mathrm A) + p(\mathrm B) - p(\mathrm A \cap B)$
  • Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements incompatibles, alors $p\mathrm{(A \cup B)} = p(\mathrm A) + p(\mathrm B)$
  • $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements indépendants si $p(\mathrm{A \cap B}) = p(\mathrm A) \cdot p(\mathrm B)$
  • $p(\overline{\rm A}) = 1 - p(\rm A)$
  • La probabilité d'un événement $\rm A$ est la somme des probabilités de tous les événements élémentaires inclus dans $\rm A$.

Hypothèse de l'équiprobabilité

  • Une expérience aléatoire est soumise à l'hypothèse de l'équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
  • Sous les conditions ci-dessus ; pour tout événement $\rm A$ on a :  $\displaystyle p(\rm A) = \frac{card ~A}{card ~\Omega}$
  • $card ~\rm A =$ le nombre des éventualités qui constituent $\rm A$.