Limite, continuité

1. Calculs sur les limites

Notion de limite

De manière intuitive, la limite d'une fonction décrit ce que ses valeurs deviennent lorsqu'on s'approche d'un certain point $x$, sans nécessairement y arriver.

Exemple : Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Nous admettons que sa courbe est donnée par la figure ci-dessous :

Plus $x$ devient grand en valeur absolue ($x \to +\infty$ ou $-\infty$), plus $f(x)$ se rapproche de $0$, mais sans jamais l'atteindre.

On dit alors que : La limite de $f(x)$, lorsque $x \to +\infty$, est égale à $0$.

Limites finies en un réel $a$

Du point de vue des calculs, nous admettrons les résultats importants suivants :

• Si $P$ est une fonction polynôme, alors pour tout réel $a$, on a $\displaystyle \lim_{x \to a} P(x) = P(a)$.
• Si $f$ est une fonction rationnelle (rappelons que cela signifie qu'elle est de la forme $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes), et si son dénominateur ne s'annule pas en $a$, c'est-à-dire si $Q(a) \neq 0$, alors $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \dfrac{P(a)}{Q(a)}$.

Extension de la notion de limite

Rappelons que les symboles $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des réels. Donc, pas question de faire des opérations sur eux !

Mais lorsqu'on dit que « $x$ tend vers $+\infty$ », cela signifie que $x$ peut être rendu aussi grand qu'on veut. Dire que « $x$ tend vers $-\infty$ » signifie que $x$ peut être rendu aussi petit qu'on veut.

• Limites usuelles
  • Limites de la fonction $f : x \to x^n, n \in \mathbb{N}^*$
    
    

• • Limites de la fonction $f : x \to \dfrac{1}{x^n}, n \in \mathbb{N}^*$
    
    

$x \to 0^+$ signifie que $x$ se rapproche de 0 par valeurs supérieures à 0.

$x \to 0^-$ signifie que $x$ se rapproche de 0 par valeurs inférieures à 0.

• Limites d'une fonction polynôme

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, une fonction polynôme a même limite que son monôme de plus haut degré.

• Limites d'une fonction rationnelle

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, une fonction rationnelle a même limite que le quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Opérations sur les limites

Les résultats suivants sont valables lorsque $x \to a, x \to a^+, x \to a^-, x \to +\infty$ ou $x \to -\infty$.

• Somme de deux fonctions

• Produit de deux fonctions

• Inverse et racine carrée d'une fonction

• Quotient de deux fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions. Pour obtenir $\displaystyle \lim \dfrac{f}{g}$, on écrit $\dfrac{f}{g} = f \times \dfrac{1}{g}$ et on applique les résultats sur le produit et l'inverse des fonctions.

• Fonction composée

Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $a, b, c$ des réels.
Si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b$ et si $\displaystyle \lim_{y\to b}g(y)=c$ alors $\displaystyle\lim_{x\to a} g(f(x))=c$

Ce résultat reste valable si $a$, $b$ et $c$ valent $+\infty$ ou $-\infty$.

2. Notion de continuité

Définition intuitive de la continuité

Une fonction $f$ est dite continue en un point $a$ de son domaine de définition (en général, un intervalle de $\mathbb{R}$), si une des conditions suivantes est satisfaite (les trois conditions sont équivalentes) :

1. $f(a)$ existe (i.e. $f$ est définie en $a$).
2. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ existe.
3. $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Graphiquement, cela se traduit par le fait que l'on peut tracer sa courbe en ce point sans lever le crayon.

Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de cet intervalle. Cela signifie que sa courbe peut être tracée sur tout l'intervalle $I$ sans interruption.

Exemple : Les fonctions usuelles, affines, carré, cube, sont continues sur $\mathbb{R}$ car leurs courbes ne présentent de saut.

On démontre, et nous l'admettrons, que l'image d'un intervalle $I$ par une fonction continue $f$ (c'est-à-dire l'ensemble de tous les nombres $f(x)$, pour $x \in I$), est un intervalle noté $f(I)$.

3. Dérivées

Nombre dérivé et interprétation géométrique

• Définition du nombre dérivé :

Le nombre dérivé de $f$ en un point $a$, noté $f'(a)$, est la limite du taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ lorsque $h$ tend vers 0 :

• Interprétation géométrique
  • Le nombre dérivé $f'(a)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe $y = f(x)$ au point $A(a,f(a))$.
  • La tangente est la droite qui « approche au mieux » la courbe en $A$. L'équation de cette tangente est donnée par: $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Théorèmes sur les fonctions dérivées

• Dérivabilité et continuité :

Si $f$ est dérivable en un point $a$, alors $f$ est continue en $a$.

Cependant, la réciproque est fausse : une fonction continue peut ne pas être dérivable en un point (exemple : la fonction valeur absolue $f : x \to f(x)=|x|$ n'est pas dérivable en $x=0$).

• Dérivée des fonctions usuelles :

On a les formules de dérivation suivantes, résumées dans le tableau ci-dessous :

Composée : Si $u(x)$ est dérivable, alors $(f \circ u)'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

• Dérivées de fonctions du type $g(ax+b)$ et $\dfrac{ax+b}{cx+d}$

Fonction affine composée :

Si $f(x)=g(ax+b)$, où $g$ est dérivable, alors : $f'(x) =a \cdot g'(ax+b) $.

Exemple : Si $f(x) = \sin(2x+3)$, alors $f'(x)= 2 \cos(2x+3)$

Fonction rationnelle :

Si $f(x)= \dfrac{ax+b}{cx+d}$, alors : $\displaystyle f'(x) = \dfrac{(ad-bc)}{(cx+d)^2}$

Exemple : Pour $f(x) = \dfrac{2x+1}{x+3}$, alors $\displaystyle f'(x)= \dfrac{5}{(x+3)^2}$.

• Utilisations de la dérivée

Sens de variation :

La dérivée permet de déterminer les variations d'une fonction :

• Si $f'(x)>0$ sur un intervalle, alors $f$ est croissante sur cet intervalle.
• Si $f'(x)<0$ sur un intervalle, alors $f$ est décroissante sur cet intervalle.
• Si $f'(x)=0$, cela peut correspondre à un extremum (maximum ou minimum).

Équation de la tangente :

L'équation de la tangente à la courbe $y=f(x)$ au point $A(a,f(a))$ est donnée par :

Notion de bijection :

Si $f$ est dérivable et strictement monotone (c'est-à-dire que $f'(x)$ ne change pas de signe), alors $f$ est bijective sur son domaine.

• Si $f$ est croissante, sa bijection réciproque est une fonction croissante.
• Si $f$ est décroissante, sa bijection réciproque est une fonction décroissante.

Exemple : La fonction $f(x) = x^3$ est bijective sur $\mathbb{R}$.