I. Division euclidienne

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels tels que $b \neq 0$. Faire la division euclidienne de $a$ par $b$ revient à trouver deux entiers naturels $q$ et $r$ tels que : $$a=b \times q+r$$ avec $r < b$.

II. Multiples et diviseurs communs à deux ou trois nombres entiers naturels

Soient $a$, $b$ et $q$ trois nombres entiers naturels. Si on a : $a=b \times q$, alors $a$ est multiple de $b$ et $q$ ; $b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$.

Remarques

  • Le seul multiple de $0$ est $0$ lui-même.
  • Un entier naturel a une infinité de multiples.
  • Un entier naturel a un nombre fini de diviseurs.
  • Tout nombre entier naturel est à la fois multiple et diviseur de lui-même.

Propriété

Si $a$ est multiple de $b$ ou $b$ diviseur de $a$, alors la division de $a$ par $b$ donne un reste nul (quotient exact).

Si un nombre entier naturel $a$ est à la fois multiple de deux nombres entiers non nuls distincts $b$ et $c$, alors on dit que $a$ est un multiple commun à $b$ et $c$.

Remarque : $0$ est un multiple de tous les entiers naturels.

III. Diviseurs communs à deux ou trois nombres entiers naturels

Si un nombre entier naturel $b$ est à la fois diviseur de deux nombres entiers non nuls distincts $a$ et $c$, alors on dit que $b$ est un diviseur commun à $a$ et $c$.

Remarque : $1$ est un diviseur de tout nombre entier naturel.

IV. Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier naturel différent de $1$ et qui admet seulement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Pour savoir si un nombre est premier ; on le divise successivement par les nombres premiers qui lui sont inférieurs dans l'ordre croissant. Si on trouve :

  • Un quotient inférieur ou égal au diviseur, alors le nombre est premier
  • Un reste nul, alors le nombre n'est pas premier.

Remarque : On arrête toujours la division lorsqu'on trouve un reste inférieur ou égal au diviseur.

V. Décomposition d'un nombre entier en un produit de facteurs premiers

Propriété

Tout nombre entier naturel qui n'est pas premier, peut être décomposé en un produit de facteurs premiers.

Pour décomposer un nombre entier naturel en un produit de facteurs premiers :

  • On le divise par son plus petit diviseur premier.
  • On fait la même chose avec le quotient obtenu à chaque fois.
  • On arrête la division lorsqu'on obtient $1$ comme quotient.
Exemple

VI. PPMC et PGDC de deux ou trois entiers naturels

Plus Petit Multiple Commun (PPMC)

Le sigle PPMC signifie : Plus Petit Multiple Commun à deux entiers naturels $a$ et $b$. Il est noté $\mathrm{PPMC}(a~ ; b)$.

Pour calculer le PPMC de deux entiers naturels $a$ et $b$ :

  • On décompose $a$ et $b$ en produit de facteurs premiers.
  • On fait le produit de tous les facteurs obtenus lors de la décomposition en prenant pour chaque facteur celui qui a le plus grand exposant.

Plus Grand Diviseur Commun (PGDC)

Le sigle PGDC signifie : Plus Grand Diviseur Commun à deux entiers naturels $a$ et $b$. Il est noté $\mathrm{PGDC}(a~ ; b)$.

Pour calculer le PGDC de deux entiers naturels $a$ et $b$ :

  • On décompose $a$ et $b$ en produit de facteurs premiers.
  • On fait le produit de tous les facteurs obtenus lors de la décomposition en prenant pour chaque facteur celui qui a le plus petit exposant.

EN RÉSUMÉ