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I. Angle au centre, arc intercepté et longueur d'un arc de cercle
Définitions
On appelle angle au centre dans un cercle, un angle dont le sommet est le centre du cercle. On appelle arc intercepté par un angle au centre dans un cercle, l'arc de cercle contenu dans le secteur angulaire défini par l'angle.
Formule de la longueur d'un arc
La longueur $\mathrm I$ d'un arc de cercle intercepté par un angle au centre $\alpha$ en degrés dans un cercle de rayon $r$ est égale à :
$$\mathrm I=\dfrac{2 \pi r \alpha}{360}$$
II. Rotations
Définition et procédure de construction
Transformer une figure par une rotation, c'est la faire tourner autour d'un point. Une rotation est définie par :
- un centre
- un angle de rotation
- un sens de rotation
Une rotation de centre $\mathrm{O}$ et d'angle $\alpha$ permet de faire tourner une figure autour du point $\mathrm{O}$ d'angle $\alpha$ sans la déformer.
Propriétés des rotations
Les rotations possèdent plusieurs propriétés importantes de conservation :
- Dans une rotation, l'image d'un segment est un segment de même longueur. La rotation conserve les longueurs.
- Dans une rotation, l'image d'une droite est une droite : la rotation conserve l'alignement.
- Dans une rotation, l'image d'un angle est un angle de même mesure : la rotation conserve les angles.
- Dans une rotation, l'image d'une figure est une figure de même aire : la rotation conserve les aires.
- La rotation conserve le parallélisme et l'orthogonalité.
III. Polygones réguliers
Définitions et exemples
Un polygone qui a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure est un polygone régulier.
Exemples- Le triangle équilatéral : 3 côtés égaux et 3 angles égaux.
- Le carré : 4 côtés égaux et 4 angles de même mesure.
- Le pentagone régulier : 5 côtés égaux et 5 angles de même mesure.
- L'hexagone régulier : 6 côtés égaux et 6 angles de même mesure.
Propriétés des polygones réguliers
Les polygones réguliers présentent des caractéristiques géométriques particulières :
- Tout polygone régulier à $n$ côtés est globalement invariant dans une rotation d'angle $\dfrac{360°}{n}$.
- Tout polygone régulier admet un cercle inscrit.
- Tout polygone régulier admet un cercle circonscrit.
- Chaque médiatrice d'un côté d'un polygone régulier est un axe de symétrie de ce polygone.
