Définition

La projection orthogonale d'un point $\mathrm{M}$ sur une droite $(d)$ est le point $\mathrm{H}$ d'intersection de la droite $(d)$ et de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $\rm M$.

$\rm H$ est le projeté orthogonal du point $\mathrm{M}$ sur la droite $(d)$.

Propriétés

  • Le projeté d'un segment est un segment qui peut être réduit à un point.
  • Le milieu d'un segment se projette au milieu du segment image.

Repérage dans le plan

Coordonnées du milieu d'un segment

Soient $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} ~; y_{\mathrm{A}}\right)$ ; $\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} ~; y_{\mathrm{B}}\right)$ et $\mathrm{M}\left(x_{\mathrm{M}} ~; y_{\mathrm{M}}\right)$.

Si $\rm M$ est le milieu du segment $\rm [AB]$ alors :

$$x_{\mathrm{M}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} \text{ et } y_{\mathrm{M}}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}$$

Carré de la distance entre 2 points

Soient $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}~ ; y_{\mathrm{A}}\right)$ et $\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} ~; y_{\mathrm{B}}\right)$ alors :

$$\mathrm{AB}^2=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^2+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^2$$

EN RÉSUMÉ