Racine carrée

I. Définition

Étant donné un nombre réel positif $a$, il existe un unique nombre réel positif dont le carré est égal à $a$. Ce nombre est appelé racine carrée de $a$, et noté $\sqrt{a}$.

L'expression « $\sqrt{a}$ » se lit « racine carrée de $a$ ». Le signe $\sqrt{}$ s'appelle le radical. $a$ s'appelle le radicande.

II. Propriétés

Les racines carrées possèdent plusieurs propriétés fondamentales :

• Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
• Pour tous réels positifs $a$ et $b$ $(b \neq 0)$, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$.
• Pour tout réel positif $a$, $(\sqrt{a})^2=a$.
• Pour tout nombre réel positif $a$, $\sqrt{(a)^2}=|a|$.

III. Expression conjuguée

L'expression conjuguée de $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ est $\sqrt{a}-\sqrt{b}$. L'expression conjuguée de $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ est $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

L'expression conjuguée sert à rendre rationnel le dénominateur irrationnel d'une fraction comportant une racine carrée.

IV. Comparaisons

Racine carrée et ordre

La racine carrée conserve l'ordre : $a$ et $b$ deux réels positifs, si $a \leq b$ alors $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$.

Égalité

Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $a=b$ si et seulement si $\sqrt{a}=\sqrt{b}$.

Règle de comparaison

Pour comparer deux réels positifs $a$ et $b$, il suffit de comparer leurs carrés.

V. Valeur absolue d'un réel

Quel que soit le réel $a$ :

• $\vert a \vert = a$ si $a$ est positif.
• $\vert a \vert = - a$ si $a$ est négatif.

Quels que soient les réels $a$ et $b$ :

• $\vert a \times b\vert = \vert a\vert \times \vert b \vert$
• $\left| \dfrac{a}{b} \right|=\dfrac{|a|}{|b|}$