Inéquations et systèmes d’inéquations à 2 inconnues

I. Inéquations à 2 inconnues

Définition

Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels tels que $(a~ ; b) \neq(0~ ; 0)$.

• On appelle inéquation du premier degré dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ toute inéquation d'un des types : $ax+by+c > 0$ ; $ax+by+c < 0$ ; $ax+by+c \geq 0$ ou $ax+by+c \leq 0$.
• Un couple $\left(x_1~ ; y_1\right)$ de nombres réels est solution d'une des inéquations, signifie que $x_1$ et $y_1$ vérifient cette inéquation.

$x-y+3<0$ est une inéquation du premier degré dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

• Pour $x=1$ et $y=5$, on a : $1-5+3=-1$.
  $-1< 0$ est vrai, donc le couple $(1 ~; 5)$ est solution de l'inéquation.
• Pour $x=0$ et $y=0$, on a $0-0+3=3$.
  $3 < 0$ est faux. Donc $(0~ ; 0)$ n'est pas solution de l'inéquation.

Représentation graphique

Dans le plan muni d'un repère $\rm (O, i, j)$, on considère la droite $\rm (D)$ d'équation : $ax+by+c=0$. $\rm (D)$ partage le plan en deux demi-plans :

• L'un de ces demi-plans contient tous les points dont les coordonnées vérifient $a x+b y+c > 0$
• L'autre demi-plan contient tous les points dont les coordonnées vérifient $a x+b y+c < 0$

L'ensemble des solutions d'une inéquation est donc l'ensemble des couples de coordonnées des points d'un demi-plan.

L'ensemble des solutions de l'inéquation : $x-y+3 < 0$ est le demi-plan, de bord la droite (D) d'équation : $x-y+3=0$, ne contenant pas le point $0(0 ~; 0)$.

II. Systèmes de 2 inéquations à 2 inconnues

Présentation

$\left\{\begin{array}{l}2 x-y+1<0 \\-x+y-3<0\end{array}\right.$ est un système d'inéquation du 1^er degré dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ d'inconnues $x$ et $y$.

Représentation graphique

Le plan est muni d'un repère $\rm (O, i, j)$. $\rm (D)$ est la droite d'équation : $\rm (D)$ : $2x-y+1=0$ et $\rm (D')$ est la droite d'équation : $\rm(D^{\prime})$ : $-x+y-3=0$

Construction de la droite (D) : $2 x-y+1=0$

Si $x = 0$, alors on a $2 \times 0 - y+ 1=0$, donc $y = 1$. On a le point $\rm A(0~ ; 1)$.

Si $x=1$, on a $2\times 1-y +1=0$, donc $y = 3$. On a le point $\rm B(1~ ; 3)$.

Construction de la droite (D') : $- x+y-3 =0$

Si $x=0$ alors on a $-0+y-3 =0$, donc $y = 3$. On a le point $\rm C(0~ ; 3)$.

Si $x=1$ alors on a $-1+y-3=0$, donc $y = 2$. On a le point $\rm D(-1~ ; 2)$.

Remarque : Cette intersection est la représentation graphique de l'ensemble des solutions du système.