Puissances

Puissances de 10

$10^0 = 1$ et $10^1 = 10$.

Propriétés des puissances de 10

Pour tous $m$ et $n$ nombres entiers relatifs :

$$\begin{array}{ll}\displaystyle 10^{-n} = \frac{1}{10^{n}} \\ 10^{n}\times 10^{m} = 10^{m +n} \\ \displaystyle \frac{10^{m}}{10^{n}} = 10^{m-n} \\ {\left(10^{m}\right)}^{n} = 10^{m \times n}\end{array}$$

$10^4 \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)}=10^2$

$(10^3)^2 = 10^{3\times 2} = 10^6$

$\displaystyle \frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}$

Écriture scientifique d'un nombre

L'écriture scientifique d'un nombre est celle de la forme $a \times 10^p$ avec $1 \le a \lt 10$ et $p$ un nombre entier relatif.

$2, 017 \times 10^3$ est l'écriture scientifique du nombre $2\: 017$

$1,9 \times 10^{-2}$ est l'écriture scientifique du nombre $0,019$

Les puissances et leurs propriétés

Soit $a$ un nombre non nul.

Définitions de base

$a^0 = 1$ et $a^1 = a$.

Propriétés des puissances

Pour tous les nombres non nuls $a$ et $b$, et tous les nombres entiers relatifs $m$ et $n$ :

• Puissance négative : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$  
• Produit de puissances : $a^n \times a^m = a^{m+n}$  
• Quotient de puissances : $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$  
• Puissance de puissance : ${(a^m)}^n = a^{m \times n}$.

$3^2\times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$  

$\dfrac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$  

${(2^2)}^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6$.