Écritures littérales 2

Identité remarquable : différence de deux carrés

Formule fondamentale

Pour $a$ et $b$ deux nombres :

$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$

Applications de la formule

Cette formule permet de développer une expression, mais elle permet aussi de factoriser une expression qui est la différence de deux nombres ou expressions au carré.

La différence de deux carrés $a^2 - b^2$ peut toujours être factorisée sous la forme $(a - b)(a + b)$.

Développement

Formule de simple distributivité

Pour tous les nombres $a$, $b$ et $k$, nous avons les formules suivantes :

$$k\times (a + b) = k \times a + k \times b$$

$$(a + b) \times k = a \times k + b \times k$$

Ces formules permettent de distribuer la multiplication sur l'addition.

Formule de double distributivité

Pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, nous avons :

$$(a + b)\times(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$$

Lorsque l'on a rangé les termes selon les puissances décroissantes de $x$, on dit que l'on a ordonné et réduit l'expression.

Factorisation

Factoriser une expression, c'est transformer une somme en un produit de facteurs. Cette opération est l'inverse du développement.

On peut, par exemple, utiliser la formule de simple distributivité dans l'autre sens pour effectuer une factorisation.

Équation du premier degré à une inconnue

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut trouver la ou les valeurs pour laquelle l'égalité entre les deux membres est vraie.

Équation produit

Pour résoudre une équation-produit, on utilise la propriété « un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul ».

$(ax + b)\times(cx + d) = 0$ équivaut à $ax + b = 0$ ou $cx + d = 0$.

Les solutions de l'équation produit sont donc les solutions de chacune de ces équations du premier degré à une inconnue.

Définition

La racine carrée du nombre positif $x$, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut $x$. Par définition, $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = {\left(\sqrt{x}\right)}^2 = x$.

Équation $x^2 = a$, $a \geq 0$

Les solutions de l'équation $x^2 = a$ ($a$ positif) sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.