I. Addition vectorielle

$\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont trois points du plan. On appelle somme des vecteurs $\overrightarrow{\rm A B}$ et $\overrightarrow{\rm B C}$, le vecteur $\overrightarrow{\rm A C}$.

On note : $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$.
Cette égalité est appelée égalité de Chasles

Vecteurs opposés

$\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont trois points du plan. On a : $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{A A}=\overrightarrow{0}$

On dit que $\rm\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{\rm B A}$ sont des vecteurs opposés. On note $\rm\overrightarrow{B A}=-\overrightarrow{A B}$

II. Multiplication d'un vecteur par un nombre

Définition

On appelle produit du vecteur non nul $\rm\overrightarrow{A B}$ par le nombre réel non nul $k$, le vecteur $\rm\overrightarrow{M N}$.

  • $\rm (A B)$ et $\rm (M N)$ ont la même direction 
  • $\rm\overrightarrow{A B}$ et $\rm\overrightarrow{M N}$ :
    • ont le même sens si $k > 0$ 
    • ont des sens contraires si $k < 0$
  • $\mathrm{M N} = |k| \mathrm{A B}$.

Remarque :

  • Le produit du vecteur nul par un nombre réel est le vecteur nul 
  • Le produit du vecteur $\overrightarrow{\rm A B}$ par $0$ est le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ 
  • Le produit du vecteur $\overrightarrow{\rm A B}$ par un nombre $k$ non nul est noté : $k \overrightarrow{\rm A B}$.
Exemples

Les vecteurs $\overrightarrow{\rm A B}$, $1.5 \overrightarrow{\rm A B}$ ont la même direction. $\overrightarrow{\rm A B}$ et $1,5 \overrightarrow{\rm A B}$ sont de même sens. $\overrightarrow{\rm A B}$ et $-3 \overrightarrow{\rm A B}$ sont de sens contraire.

Propriétés

$\rm A$, $\rm B$, $\rm C$ et $\rm D$ sont des points du plan. $k$ et $h$ sont des nombres réels. On a :

  • $k(h \overrightarrow{\rm A B})=(k h) \overrightarrow{\rm A B}$.
  • $k \overrightarrow{\rm A B}+k \overrightarrow{\rm C D}=k(\overrightarrow{\rm A B}+\overrightarrow{\rm C D})$.
  • $k \overrightarrow{\rm A B}+h \overrightarrow{\rm A B}=(k+h) \overrightarrow{\rm A B}$.
  • $1 \overrightarrow{\rm A B}=\overrightarrow{\rm A B}$.

III. Vecteurs de même direction et vecteurs colinéaires

Vecteurs de même direction

Propriété

$\rm A$, $\rm B$, $\rm C$ et $\rm D$ sont quatre points du plan. Les vecteurs $\overrightarrow{\rm A B}$ et $\overrightarrow{\rm C D}$ ont la même direction signifie qu'on peut trouver un nombre réel $k$ non nul tel que : $\overrightarrow{\rm A B}=k \overrightarrow{\rm C D}$

Vecteurs colinéaires

Définition

On dit que des vecteurs sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction, ou lorsque l'un d'eux est le vecteur nul.

Exemple

$\rm \overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{C D}$ équivaut à $\rm\overrightarrow{A B}$ et $\rm\overrightarrow{C D}$ ont même direction alors $\rm\overrightarrow{A B}$ et $\rm\overrightarrow{C D}$ sont colinéaires.

Propriété

$\rm A$ et $\mathrm{B}$ sont deux points du plan. Un point $\rm M$ appartient à la droite $(A B)$ équivaut à $\overrightarrow{\rm A M}$ et $\overrightarrow{\rm A B}$ sont colinéaires.

Conséquences

Vecteur et milieu

Si le point $I$ est le milieu de $[A B]$, alors $\overrightarrow{\rm A B}=2 \overrightarrow{\rm A I}$

Si $\overrightarrow{A B}=k \overrightarrow{A I}$ alors $\rm I$ est le milieu de $\rm [AB]$.

Points alignés

Si $A$, $B$ et $C$ sont alignés alors $\overrightarrow{\rm A C}=k \overrightarrow{\rm A B} \quad k \neq 0$

Si $\overrightarrow{\rm A C}=k \overrightarrow{\rm A B} \quad k \neq 0$ alors $A$, $B$ et $C$ sont alignés

Droites parallèles

Si $\rm (A B) // (C D)$ alors $\rm \overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{\rm CD} \quad k \neq 0$

Si $\rm \overrightarrow{\rm AB}=k \overrightarrow{\rm CD} \quad k \neq 0$ alors $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

EN RÉSUMÉ