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I. Définition
Étant donné un nombre réel positif $a$, il existe un unique nombre réel positif dont le carré est égal à $a$. Ce nombre est appelé racine carrée de $a$, et noté $\sqrt{a}$.
L'expression « $\sqrt{a}$ » se lit « racine carrée de $a$ ». Le signe $\sqrt{}$ s'appelle le radical. $a$ s'appelle le radicande.
II. Propriétés
Les racines carrées possèdent plusieurs propriétés fondamentales :
- Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
- Pour tous réels positifs $a$ et $b$ $(b \neq 0)$, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$.
- Pour tout réel positif $a$, $(\sqrt{a})^2=a$.
- Pour tout nombre réel positif $a$, $\sqrt{(a)^2}=|a|$.
III. Expression conjuguée
L'expression conjuguée de $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ est $\sqrt{a}-\sqrt{b}$. L'expression conjuguée de $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ est $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
L'expression conjuguée sert à rendre rationnel le dénominateur irrationnel d'une fraction comportant une racine carrée.
IV. Comparaisons
Racine carrée et ordre
La racine carrée conserve l'ordre : $a$ et $b$ deux réels positifs, si $a \leq b$ alors $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$.
Égalité
Pour tous réels positifs $a$ et $b$, $a=b$ si et seulement si $\sqrt{a}=\sqrt{b}$.
Règle de comparaison
Pour comparer deux réels positifs $a$ et $b$, il suffit de comparer leurs carrés.
V. Valeur absolue d'un réel
Quel que soit le réel $a$ :
- $\vert a \vert = a$ si $a$ est positif.
- $\vert a \vert = - a$ si $a$ est négatif.
Quels que soient les réels $a$ et $b$ :
- $\vert a \times b\vert = \vert a\vert \times \vert b \vert$
- $\left| \dfrac{a}{b} \right|=\dfrac{|a|}{|b|}$
