Vecteurs

I. Caractérisation d'un vecteur

Le vecteur $\rm\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par :

• Sa direction qui est celle de la droite $\rm (AB)$.
• Son sens qui est celui de la demi-droite $\rm AB$.
• Sa longueur qui est celle du segment $\rm [AB]$.

Il est représenté par une flèche.

II. Vecteurs égaux et vecteurs opposés

• $2$ vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
  
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
  
  
• $2$ vecteurs sont opposés s'ils ont la même direction, la même longueur mais des sens contraires.
  
  
  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ sont opposés.

III. Vecteur et parallélogramme

• Si $\rm A B C D$ est un parallélogramme alors $\rm\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$.
• Si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ et les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$ ne sont pas alignés alors le quadrilatère $\rm A B C D$ est un parallélogramme.

IV. Milieu d'un segment et vecteur

• Si un point $\rm I$ est le milieu d'un segment $[\mathrm{AB}]$ alors $\overrightarrow{\mathrm{AI}} = \overrightarrow{\mathrm{IB}}$.
• Si $3$ points $\rm A$, $\rm I$, $\rm B$ sont tels que $\rm \overrightarrow{A I}=\overrightarrow{I B}$ alors $\rm I$ est le milieu de $\rm [A B]$.

I. Addition vectorielle

$\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont trois points du plan. On appelle somme des vecteurs $\overrightarrow{\rm A B}$ et $\overrightarrow{\rm B C}$, le vecteur $\overrightarrow{\rm A C}$.

On note : $\color{red}{\rm\overrightarrow{A \color{green}{B}}+\overrightarrow{\color{green}{B} C}=\overrightarrow{A C}}$.
Cette égalité est appelée égalité de Chasles

Vecteurs opposés

$\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont trois points du plan.
On a : $\rm\color{purple}{\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{A A}=\overrightarrow{0}}$
On dit que $\rm\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{\rm B A}$ sont des vecteurs opposés. On note $\rm\overrightarrow{B A}=-\overrightarrow{A B}$

II. Multiplication d'un vecteur par un nombre

Définition

On appelle produit du vecteur non nul $\color{red}{\rm\overrightarrow{A B}}$ par le nombre réel non nul $k$, le vecteur $\rm\color{red}{\overrightarrow{M N}}$.

• $\rm (A B)~ // ~(M N)$ ont la même direction ;
• $\color{red}{\rm\overrightarrow{A B}}$ et $\color{red}{\rm\overrightarrow{M N}}$ :
  • ont le même sens si $k > 0$ ;
  • ont des sens contraires si $k < 0$
• $\color{red}{\mathrm{M N} = |k| \mathrm{A B}}$.

Remarque :

• Le produit du vecteur nul par un nombre réel est le vecteur nul ;
• Le produit du vecteur $\color{red}{\overrightarrow{\rm A B}}$ par $0$ est le vecteur nul $\color{red}{\overrightarrow{0}}$ ;
• Le produit du vecteur $\color{red}{\overrightarrow{\rm A B}}$ par un nombre $k$ non nul est noté : $k \overrightarrow{\rm A B}$.

Exemples :

Les vecteurs $\overrightarrow{\rm A B}$, $1.5 \overrightarrow{\rm A B}$  ont la même direction.
$\overrightarrow{\rm A B}$ et $1,5 \overrightarrow{\rm A B}$ sont de même sens.
$\overrightarrow{\rm A B}$ et $-3 \overrightarrow{\rm A B}$ sont de sens contraire.

Propriétés

$\rm A$, $\rm B$, $\rm C$ et $\rm D$ sont des points du plan. $k$ et $h$ sont des nombres réels. On a :

• $k(h \overrightarrow{\rm A B})=(k h) \overrightarrow{\rm A B}$.
• $k \overrightarrow{\rm A B}+k \overrightarrow{\rm C D}=k(\overrightarrow{\rm A B}+\overrightarrow{\rm C D})$.
• $k \overrightarrow{\rm A B}+h \overrightarrow{\rm A B}=(k+h) \overrightarrow{\rm A B}$.
• $1 \overrightarrow{\rm A B}=\overrightarrow{\rm A B}$.

III. Vecteurs de même direction et vecteurs colinéaires

Vecteurs de même direction

Propriété

$\rm A$, $\rm B$, $\rm C$ et $\rm D$ sont quatre points du plan.
Les vecteurs $\overrightarrow{\rm A B}$ et $\overrightarrow{\rm C D}$ ont la même direction signifie qu'on peut trouver un nombre réel $k$ non nul tel que : $\overrightarrow{\rm A B}=k \overrightarrow{\rm C D}$

Vecteurs colinéaires

Définition

On dit que des vecteurs sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction, ou lorsque l'un d'eux est le vecteur nul.

Exemple :

$\rm \overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{C D}$ équivaut à $\rm\overrightarrow{A B}$ et $\rm\overrightarrow{C D}$ ont même direction alors $\rm\overrightarrow{A B}$ et $\rm\overrightarrow{C D}$ sont colinéaires.

Propriété

$\rm A$ et $\mathrm{B}$ sont deux points du plan.
Un point $\rm M$ appartient à la droite $(A B)$ équivaut à $\overrightarrow{\rm A M}$ et $\overrightarrow{\rm A B}$ sont colinéaires.

Conséquences

Vecteur et milieu

Si le point $\bf I$ est le milieu de $\bf [A B]$, alors $\overrightarrow{\rm A B}=2 \overrightarrow{\rm A I}$

Si $\overrightarrow{\bf A B}=\boldsymbol k \overrightarrow{\bf A I}$
Alors $\rm I$ est le milieu de $\rm [AB]$.

Points alignés

Si $\bf A$, $\bf B$ et $\bf C$ sont alignés
Alors $\overrightarrow{\rm A C}=k \overrightarrow{\rm A B} \quad k \neq 0$

Si $\overrightarrow{\rm A C}=k \overrightarrow{\rm A B} \quad k \neq 0$
Alors $\bf A$, $\bf B$ et $\bf C$ sont alignés

Droites parallèles

Si $\rm (A B) // (C D)$ alors $\rm \overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{\rm CD} \quad k \neq 0$

Si $\rm \overrightarrow{\rm AB}=k \overrightarrow{\rm CD} \quad k \neq 0$ alors $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.