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Équations de droites

Le plan est muni du repère $(\rm O~ ; I~ ; J)$.

I. Équations de droites

Définition

Soit $a$, $b$ et $c$ des nombres réels.

Toute droite a une équation de la forme $a x+b y+c=0$ où $a$ et $b$ sont des réels tous non nuls.
Toute équation de la forme $a x+b y+c=0$, où $a$ et $b$ sont des réels tous non nuls, est une équation de droite.

On considère une droite $\rm (D)$ qui a pour équation $a x+b y+c=0$, avec $a$, $b\neq 0$ et $c$ trois nombres réels.
On peut mettre cette équation sous la forme $y=a x+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

Vocabulaire :

$a$ est le coefficient directeur de la droite $\bf (D)$.
$b$ est l'ordonnée à l'origine de la droite $\bf (D)$.

Propriété :

On considère la droite $\rm (D)$ non verticale qui passe par les points $\mathrm A\left(x_{\rm A}~ ; y_{\rm A}\right)$ et $\mathrm B\left(x_{\rm A}~ ; y_{\rm B}\right)$, tels que $x_{\rm B} \neq x_{\rm B}$.

Le coefficient directeur $a$ de $\rm (D)$ est donné par la formule : $a=\dfrac{y_{\rm B}-y_{\rm A}}{x_{\rm B}-x_{\rm A}}$.

Équation de droite passant par 2 points

On considère les points $\rm A(4~ ;-3)$ et $\rm B(6~ ; 1)$.
Déterminons une équation de la droite $\rm (A B)$.
Considérons un point $\rm M$ du plan tel que $\mathrm M(x~ ; y)$.
On sait que le point $\mathrm{M}$ appartient à $(\mathrm{AB})$ équivaut à $\overrightarrow{\rm A M}$ et $\overrightarrow{\rm A B}$ sont colinéaires.
On a : $\overrightarrow{\rm A M}\left(\begin{array}{l}x-4 \\ y+3\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\rm A B}\left(\begin{array}{l}2 \\ 4\end{array}\right)$.
Le point $\rm M$ appartient à $\rm (A B)$ équivaut à : $4(x-4)-2(y+3)=0$.
$$\begin{array}{r}
4 x-16-2 y-6=0 \\
4 x-2 y-22=0 \\
2 x-y-11=0
\end{array}$$
$2 x-y-11=0$ est une équation de la droite $\rm(AB)$.

Équation de droite passant par un point et parallèle à une droite donnée

On considère les points $\rm A(3~ ; 2)$ ; $\rm B(-1~ ;-4)$ et $\rm C(-2~ ; 1)$.
Déterminons une équation de la droite $\rm (D)$ passant par $\mathrm{C}$ et parallèle à $(\mathrm{AB})$.
Considérons $\rm M$ un point du plan tel que $\mathrm M(x~ ; y)$.
On sait que $\rm M$ appartient à $\rm (D)$ équivaut à $\overrightarrow{\rm C M}$ et $\overrightarrow{\rm A B}$ sont colinéaires.
On a : $\overrightarrow{\rm C M}\left(\begin{array}{l}x+2 \\ y-1\end{array}\right)$ et $ \overrightarrow{\rm A B}\left(\begin{array}{c}-4 \\ -6\end{array}\right)$.
Le point $\rm M$ appartient à $\rm (D)$ équivaut à : $-6(x+2)+4(y-1)=0$
$-6 x-12+4 y-4=0$
$-6 x+4 y-16=0$
$-3 x+2 y-8=0$

$-3 x+2 y-8=0$ est une équation de la droite $\rm (D)$.

Équation de droite passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée

On considère les points $\rm E(1~ ; 3)$, $\rm F(-2~ ;-6)$ et $\rm G(2~ ;-2)$.

Déterminons une équation de la droite $\rm (D)$ passant par $\rm G$ et perpendiculaire à $\rm (E F)$.

Considérons un point $\mathrm{M}$ du plan tel que $\mathrm M(x~ ; y)$.
On sait que $\rm M$ appartient à $\rm (D)$ équivaut à $\overrightarrow{\rm G M}$ et $\overrightarrow{\rm E F}$ sont orthogonaux.
On a : $\overrightarrow{\rm G M}\left(\begin{array}{l}x-2 \\ y+2\end{array}\right)$, $\overrightarrow{\rm E F}\left(\begin{array}{l}-2-1 \\ -6-3\end{array}\right) \rm{et~} \overrightarrow{\rm E F}\left(\begin{array}{l}-3 \\ -9\end{array}\right)$.
D'où, $\rm M$ appartient à $\rm (D)$ équivaut à : $-3(x-2)+(-9)(y+2)=0$
$-3 x+6-9 y-18=0$
$-3 x-9 y-12=0$
$x+3 y+4=0$ en divisant par $-3$ tous les coefficients

$x+3 y+4=0$ est une équation de la droite $\rm (D)$.