Le plan est muni du repère $(\rm O~ ; I~ ; J)$.

I. Coordonnées d'un point

Calcul de la distance entre 2 points

Soit $\mathrm A\left(x_{\rm A}~ ; y_{\rm A}\right)$ et $\mathrm B\left(x_{\rm B}~ ; y_{\rm B}\right)$ deux points du plan.

On a : $\mathrm{A B} = \sqrt{\left(x_{\rm B} - x_{\rm A}\right)^2 + \left(y_{\rm B} - y_{\rm A}\right)^2}$

Exemple :
Soit $\rm A\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)$ et $\rm B\left(\begin{array}{l}2 \\ -2\end{array}\right)$ deux points du plan. Calculons la distance $\rm A B$.

La distance $\rm A B$ est égale à :
$$\begin{aligned}
\rm A B & =\sqrt{(2-3)^2+(-2-2)^2} \\
& =\sqrt{1+16} \\
& =\sqrt{17}
\end{aligned}$$

Milieu d'un segment

Soit A($x_{\mathrm{A}}$ ; $y_{\mathrm{A}}$) et B($x_{\mathrm{B}}$ ; $y_{\mathrm{B}}$) deux points du plan.

Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :
I($\frac{x_{\mathrm{A}} + x_{\mathrm{B}}}{2}$ ; $\frac{y_{\mathrm{A}} + y_{\mathrm{B}}}{2}$).

II. Coordonnées d'un vecteur

Définition

On considère $\mathrm A\left(x_{\rm A}~ ; y_{\rm A}\right)$ et $\mathrm B\left(x_{\rm B}~ ; y_{\rm B}\right)$ deux points du plan.

Le vecteur $\overrightarrow{\rm A B}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{l}x_{\rm B}-x_{\rm A} \\ y_{\rm B}-y_{\rm  A}\end{array}\right)$.
On note $\overrightarrow{\rm A B}\left(\begin{array}{l}x_{\rm B} - x_{\rm A} \\ y_{\rm B} - y_{\rm  A}\end{array}\right)$.

Propriétés

Soit $\vec{u}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right)$ deux vecteurs.
•    Pour tout réel $k$, le vecteur $k  \vec{u}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{l}k\times x \\ k\times y\end{array}\right)$
•    $\vec{u}=\vec{v}$ si et seulement si $x=x^{\prime}$ et $y=y^{\prime}$.
•    $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{l}x+x' \\ y+y'\end{array}\right)$
•    Pour tout vecteur $\vec{u}$ tel que $\vec{u}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}$, on a : $\vec{u}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$.
•    Pour tout point $\rm M$ du plan, si $\overrightarrow{\rm O M} = x\vec{\imath} + y\vec{\jmath}$ alors $\mathrm M(x~ ; y)$.

Vecteurs colinéaires

$\overrightarrow{\rm A B}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\rm C D}\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right)$ sont colinéaires équivaut à $x y^{\prime}-x^{\prime} y=0.$

Vecteurs orthogonaux

Pour $\overrightarrow{\rm A B}$ et $\overrightarrow{\rm C D}$ deux vecteurs non nuls :
$\overrightarrow{\rm A B}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\rm C D}\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right)$ sont orthogonaux équivaut à  $x x^{\prime}+y y^{\prime}=0.$