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Egalités remarquables
Pour $a$ et $b$ deux nombres :
- ${(a + b)}^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ;
- ${(a - b)}^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ;
- $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Elles peuvent servir à développer ou à factoriser une expression.
Exemples :
${(x + 2)}^2 = x^2 + 4x + 4$ ;
${(x - 5)}^2 = x^2 - 10x + 25$ ;
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.
Equation-produit et équation carré
Equation produit
Si $\rm A$ et $\rm B$ sont des expressions du premier degré, $\rm A \times B = 0$ est une équation-produit.
Pour la résoudre, on utilise la propriété suivante : « un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul ».
Donc $\rm A \times B = 0$ équivaut à $\rm A = 0$ ou $\rm B = 0$.
Exemple :
$(x + 2)(x - 5) = 0$ équivaut à $x + 2 = 0$ ou $x - 5 = 0$, donc à $x = -2$ ou $x = 5$.
Nombres de même carré
Les solutions de l’équation ${x}^2 = a^2$ sont $x = a$ et $x = -a$.
Exemple :
Les solutions de l’équation $x^2 = 36$ sont $x = 6$ et $x = -6$, car $36 = 6^2$.
Polynômes et fractions rationnelles
Polynômes
- L’expression littérale $7x^3$ est un monôme en $x$.
$7$ est le coefficient du monôme et le monôme est de degré $3$. - L’expression littérale $2x^5 + 5x^3 – 6$ est un polynôme en $x$ et le degré de ce polynôme est $5$.
Fractions rationnelles
- L’expression littérale $\dfrac{x^3 + 4}{x^2 - 9}$, qui est un quotient de polynômes, est une fraction rationnelle de numérateur $x^3 + 4$ et de dénominateur $x^2 – 9$.
- Une fraction rationnelle existe si et seulement si son dénominateur est non nul.
Dans notre exemple, $x^2 - 9 \neq 0$ donc $x^2 \neq 9 = 3^2$ puis $x\neq 3$ et $x \neq -3$.
Simplification d’une fraction rationnelle
Pour les valeurs où elle existe, une fraction rationnelle peut être simplifiée lorsqu’elle a un facteur commun au numérateur et au dénominateur.
Exemple :
Pour $x\neq 3$ et $x \neq -3$,
$\dfrac{(x - 3)(x + 5)}{x^2 - 9} = \dfrac{(x – 3)(x + 5)}{(x – 3)(x + 3)} = \dfrac{x + 5}{x + 3}$.
