Egalité de deux quotients

On considère quatre nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que $b \neq 0$ et $d \neq 0$. 

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ équivaut à $a\times d = b\times c$.

Exemple :

$\dfrac{x}{5} = \dfrac{3}{4}$ équivaut à $4\times x = 3\times 5 = 15$, donc à $x = \dfrac{15}{4} = 3,75$.

Puissances

Pour un nombre $a\neq 0$, $a^0 = 1$ et $a^1 = a$.

Pour tous les nombres non nuls $a$ et $b$, et tous les nombres entiers relatifs $m$ et $n$ :

  • $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ;
  • $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ;
  • $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ;
  • ${(a^m)}^n = a^{m \times n}$ ;
  • $(a\times b)^n = a^n \times b^n$.

Exemples :

$3^2\times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$ ;
$\dfrac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$ ;
${(2^2)}^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6$.
$(3\times 5)^4 = 3^4 \times 5^4$.

Développement et factorisation

Formule de simple distributivité
Pour tous les nombres $a$, $b$ et $k$ :
$k\times (a + b) = k \times a + k \times b$
$(a + b) \times k = a \times k + b \times k$

Exemple : $3(x - 5) = 3\times x - 3\times 5 = 3x - 15$.

Formule de double distributivité
Pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ :
$(a + b)\times (c + d) = a\times c + a\times d + b\times c + b \times d.$
Lorsque l’on a rangé les termes selon les puissances décroissantes de $x$, on dit que l’on a ordonné et réduit l’expression.

Exemple :

$(x + 2)(x - 5)$

$= x^2 + x\times(-5)$ $+ 2\times x + 2\times (-5)$

$= x^2 - 5x + 2x - 10$$= x^2 - 3x - 10$

qui est une expression développée, ordonnée et réduite.

Factorisation
Factoriser une expression, c’est transformer une somme en un produit de facteurs.
On peut, par exemple, utiliser la formule de simple distributivité lue dans l'autre sens.

Exemple :

$4x^2 - 8x = 4x\times x - 4x\times 2 = 4x(x - 2)$